حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$4 x y^{3} + 5 x y = 36$ , $(4, 1)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 4$ و $y = 1$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (4 x y^{3} + 5 x y) = \frac{d}{d x} (36)$

خطوة 1.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x y^{3} + 5 x y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x y]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x y]$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x y^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x y]$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y^{3}$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

خطوة 1.2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$4 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

خطوة 1.2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$4 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

خطوة 1.2.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$4 (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

خطوة 1.2.2.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$4 (x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

خطوة 1.2.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 (x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

خطوة 1.2.2.6

انقُل $3$ إلى يسار $x$ .

$4 (3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

خطوة 1.2.2.7

اضرب $y^{3}$ في $1$ .

$4 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + \frac{d}{d x} [5 x y]$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$4 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 5 \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$4 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 5 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.2.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$4 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 5 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 5 (x y' + y \cdot 1)$

خطوة 1.2.3.5

اضرب $y$ في $1$ .

$4 (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 5 (x y' + y)$

خطوة 1.2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$4 (3 x y^{2} y') + 4 y^{3} + 5 (x y' + y)$

خطوة 1.2.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$4 (3 x y^{2} y') + 4 y^{3} + 5 (x y') + 5 y$

خطوة 1.2.4.3

اضرب $3$ في $4$ .

$12 x y^{2} y' + 4 y^{3} + 5 x y' + 5 y$

خطوة 1.2.4.4

أعِد ترتيب الحدود.

$4 y^{3} + 12 y^{2} x y' + 5 x y' + 5 y$

خطوة 1.3

بما أن $36$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $36$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 1.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$4 y^{3} + 12 y^{2} x y' + 5 x y' + 5 y = 0$

خطوة 1.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

اطرح $4 y^{3}$ من كلا المتعادلين.

$12 y^{2} x y' + 5 x y' + 5 y = - 4 y^{3}$

خطوة 1.5.1.2

اطرح $5 y$ من كلا المتعادلين.

$12 y^{2} x y' + 5 x y' = - 4 y^{3} - 5 y$

خطوة 1.5.2

أخرِج العامل $x y'$ من $12 y^{2} x y' + 5 x y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

أخرِج العامل $x y'$ من $12 y^{2} x y'$ .

$x y' (12 y^{2}) + 5 x y' = - 4 y^{3} - 5 y$

خطوة 1.5.2.2

أخرِج العامل $x y'$ من $5 x y'$ .

$x y' (12 y^{2}) + x y' \cdot 5 = - 4 y^{3} - 5 y$

خطوة 1.5.2.3

أخرِج العامل $x y'$ من $x y' (12 y^{2}) + x y' \cdot 5$ .

$x y' (12 y^{2} + 5) = - 4 y^{3} - 5 y$

خطوة 1.5.3

اقسِم كل حد في $x y' (12 y^{2} + 5) = - 4 y^{3} - 5 y$ على $x (12 y^{2} + 5)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

اقسِم كل حد في $x y' (12 y^{2} + 5) = - 4 y^{3} - 5 y$ على $x (12 y^{2} + 5)$ .

$\frac{x y' (12 y^{2} + 5)}{x (12 y^{2} + 5)} = \frac{- 4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} + \frac{- 5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

خطوة 1.5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y' (12 y^{2} + 5)}{x (12 y^{2} + 5)} = \frac{- 4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} + \frac{- 5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

خطوة 1.5.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (12 y^{2} + 5)}{12 y^{2} + 5} = \frac{- 4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} + \frac{- 5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

خطوة 1.5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $12 y^{2} + 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (12 y^{2} + 5)}{12 y^{2} + 5} = \frac{- 4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} + \frac{- 5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

خطوة 1.5.3.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} + \frac{- 5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

خطوة 1.5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.1.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} + \frac{- 5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

خطوة 1.5.3.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} - \frac{5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

خطوة 1.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 y^{3}}{x (12 y^{2} + 5)} - \frac{5 y}{x (12 y^{2} + 5)}$

خطوة 1.7

احسِب القيمة عند $x = 4$ و $y = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $4$ في العبارة.

$- \frac{4 y^{3}}{(4) (12 y^{2} + 5)} - \frac{5 y}{(4) (12 y^{2} + 5)}$

خطوة 1.7.2

استبدِل المتغير $y$ بـ $1$ في العبارة.

$- \frac{4 {(1)}^{3}}{(4) (12 {(1)}^{2} + 5)} - \frac{5 (1)}{(4) (12 {(1)}^{2} + 5)}$

خطوة 1.7.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 4 {(1)}^{3} - 5 \cdot 1}{4 (12 {(1)}^{2} + 5)}$

خطوة 1.7.3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{- 4 \cdot 1 - 5 \cdot 1}{4 (12 {(1)}^{2} + 5)}$

خطوة 1.7.3.2.2

اضرب $- 4$ في $1$ .

$\frac{- 4 - 5 \cdot 1}{4 (12 {(1)}^{2} + 5)}$

خطوة 1.7.3.2.3

اضرب $- 5$ في $1$ .

$\frac{- 4 - 5}{4 (12 {(1)}^{2} + 5)}$

خطوة 1.7.3.3

اطرح $5$ من $- 4$ .

$\frac{- 9}{4 (12 {(1)}^{2} + 5)}$

خطوة 1.7.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{- 9}{4 (12 \cdot 1 + 5)}$

خطوة 1.7.4.2

اضرب $12$ في $1$ .

$\frac{- 9}{4 (12 + 5)}$

خطوة 1.7.4.3

أضف $12$ و $5$ .

$\frac{- 9}{4 \cdot 17}$

خطوة 1.7.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.5.1

اضرب $4$ في $17$ .

$\frac{- 9}{68}$

خطوة 1.7.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{9}{68}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $- \frac{9}{68}$ ونقطة مُعطاة $(4, 1)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{9}{68} \cdot (x - (4))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 1 = - \frac{9}{68} \cdot (x - 4)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $- \frac{9}{68} \cdot (x - 4)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{9}{68} \cdot (x - 4)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 1 = - \frac{9}{68} x - \frac{9}{68} \cdot - 4$

خطوة 2.3.1.2.2

اجمع $x$ و $\frac{9}{68}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} - \frac{9}{68} \cdot - 4$

خطوة 2.3.1.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{9}{68}$ إلى بسط الكسر.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{- 9}{68} \cdot - 4$

خطوة 2.3.1.2.3.2

أخرِج العامل $4$ من $68$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{- 9}{4 (17)} \cdot - 4$

خطوة 2.3.1.2.3.3

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{- 9}{4 \cdot 17} \cdot (4 \cdot - 1)$

خطوة 2.3.1.2.3.4

ألغِ العامل المشترك.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{- 9}{4 \cdot 17} \cdot (4 \cdot - 1)$

خطوة 2.3.1.2.3.5

أعِد كتابة العبارة.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{- 9}{17} \cdot - 1$

خطوة 2.3.1.2.4

اجمع $\frac{- 9}{17}$ و $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{- 9 \cdot - 1}{17}$

خطوة 2.3.1.2.5

اضرب $- 9$ في $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 9}{68} + \frac{9}{17}$

خطوة 2.3.1.3

انقُل $9$ إلى يسار $x$ .

$y - 1 = - \frac{9 x}{68} + \frac{9}{17}$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$y = - \frac{9 x}{68} + \frac{9}{17} + 1$

خطوة 2.3.2.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$y = - \frac{9 x}{68} + \frac{9}{17} + \frac{17}{17}$

خطوة 2.3.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = - \frac{9 x}{68} + \frac{9 + 17}{17}$

خطوة 2.3.2.4

أضف $9$ و $17$ .

$y = - \frac{9 x}{68} + \frac{26}{17}$

خطوة 2.3.3

اكتب بصيغة $y = m x + b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد ترتيب الحدود.

$y = - (\frac{9}{68} x) + \frac{26}{17}$

خطوة 2.3.3.2

احذِف الأقواس.

$y = - \frac{9}{68} x + \frac{26}{17}$

خطوة 3