حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x e^{y} + y e^{x} = 1$ , $(0, 1)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 0$ و $y = 1$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x e^{y} + y e^{x}) = \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 1.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x e^{y} + y e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = e^{y}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

خطوة 1.2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

خطوة 1.2.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$x (e^{y} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

خطوة 1.2.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x (e^{y} y') + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

خطوة 1.2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x (e^{y} y') + e^{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

خطوة 1.2.2.5

اضرب $e^{y}$ في $1$ .

$x e^{y} y' + e^{y} + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y e^{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = y$ و $g (x) = e^{x}$ .

$x e^{y} y' + e^{y} + y \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$x e^{y} y' + e^{y} + y e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 1.2.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x e^{y} y' + e^{y} + y e^{x} + e^{x} y'$

خطوة 1.2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

أعِد ترتيب الحدود.

$e^{y} x y' + e^{x} y + e^{x} y' + e^{y}$

خطوة 1.2.4.2

أعِد ترتيب العوامل في $e^{y} x y' + e^{x} y + e^{x} y' + e^{y}$ .

$x e^{y} y' + y e^{x} + e^{x} y' + e^{y}$

خطوة 1.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 1.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$x e^{y} y' + y e^{x} + e^{x} y' + e^{y} = 0$

خطوة 1.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أعِد ترتيب العوامل في $x e^{y} y' + y e^{x} + e^{x} y' + e^{y}$ .

$x y' e^{y} + y e^{x} + y' e^{x} + e^{y} = 0$

خطوة 1.5.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

اطرح $y e^{x}$ من كلا المتعادلين.

$x y' e^{y} + y' e^{x} + e^{y} = - y e^{x}$

خطوة 1.5.2.2

اطرح $e^{y}$ من كلا المتعادلين.

$x y' e^{y} + y' e^{x} = - y e^{x} - e^{y}$

خطوة 1.5.3

أخرِج العامل $y'$ من $x y' e^{y} + y' e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

أخرِج العامل $y'$ من $x y' e^{y}$ .

$y' (x e^{y}) + y' (e^{x}) = - y e^{x} - e^{y}$

خطوة 1.5.3.2

أخرِج العامل $y'$ من $y' e^{x}$ .

$y' (x e^{y}) + y' (e^{x}) = - y e^{x} - e^{y}$

خطوة 1.5.3.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (x e^{y}) + y' (e^{x})$ .

$y' (x e^{y} + e^{x}) = - y e^{x} - e^{y}$

خطوة 1.5.4

اقسِم كل حد في $y' (x e^{y} + e^{x}) = - y e^{x} - e^{y}$ على $x e^{y} + e^{x}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

اقسِم كل حد في $y' (x e^{y} + e^{x}) = - y e^{x} - e^{y}$ على $x e^{y} + e^{x}$ .

$\frac{y' (x e^{y} + e^{x})}{x e^{y} + e^{x}} = \frac{- y e^{x}}{x e^{y} + e^{x}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

خطوة 1.5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x e^{y} + e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (x e^{y} + e^{x})}{x e^{y} + e^{x}} = \frac{- y e^{x}}{x e^{y} + e^{x}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

خطوة 1.5.4.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- y e^{x}}{x e^{y} + e^{x}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

خطوة 1.5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{- y e^{x} - e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

خطوة 1.5.4.3.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- y e^{x}$ .

$y' = \frac{- (y e^{x}) - e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

خطوة 1.5.4.3.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- e^{y}$ .

$y' = \frac{- (y e^{x}) - (e^{y})}{x e^{y} + e^{x}}$

خطوة 1.5.4.3.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (y e^{x}) - (e^{y})$ .

$y' = \frac{- (y e^{x} + e^{y})}{x e^{y} + e^{x}}$

خطوة 1.5.4.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.3.5.1

أعِد كتابة $- (y e^{x} + e^{y})$ بالصيغة $- 1 (y e^{x} + e^{y})$ .

$y' = \frac{- 1 (y e^{x} + e^{y})}{x e^{y} + e^{x}}$

خطوة 1.5.4.3.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{y e^{x} + e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

خطوة 1.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y e^{x} + e^{y}}{x e^{y} + e^{x}}$

خطوة 1.7

احسِب القيمة عند $x = 0$ و $y = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$- \frac{y e^{0} + e^{y}}{(0) \cdot e^{y} + e^{0}}$

خطوة 1.7.2

استبدِل المتغير $y$ بـ $1$ في العبارة.

$- \frac{(1) \cdot e^{0} + e^{1}}{(0) \cdot e^{1} + e^{0}}$

خطوة 1.7.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1

اضرب $e^{0}$ في $1$ .

$- \frac{e^{0} + e^{1}}{0 \cdot e^{1} + e^{0}}$

خطوة 1.7.3.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$- \frac{1 + e^{1}}{0 \cdot e^{1} + e^{0}}$

خطوة 1.7.3.3

بسّط.

$- \frac{1 + e}{0 \cdot e^{1} + e^{0}}$

خطوة 1.7.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

بسّط.

$- \frac{1 + e}{0 \cdot e + e^{0}}$

خطوة 1.7.4.2

اضرب $0$ في $e$ .

$- \frac{1 + e}{0 + e^{0}}$

خطوة 1.7.4.3

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$- \frac{1 + e}{0 + 1}$

خطوة 1.7.4.4

أضف $0$ و $1$ .

$- \frac{1 + e}{1}$

خطوة 1.7.5

بسّط بالضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.5.1

اقسِم $1 + e$ على $1$ .

$- (1 + e)$

خطوة 1.7.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- 1 \cdot 1 - e$

خطوة 1.7.5.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1 - e$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $- 1 - e$ ونقطة مُعطاة $(0, 1)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = (- 1 - e) \cdot (x - (0))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 1 = (- 1 - e) \cdot (x + 0)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $(- 1 - e) \cdot (x + 0)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أضف $x$ و $0$ .

$y - 1 = (- 1 - e) \cdot x$

خطوة 2.3.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 1 = - 1 x - e x$

خطوة 2.3.1.3

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$y - 1 = - x - e x$

خطوة 2.3.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$y = - x - e x + 1$

خطوة 2.3.3

اكتب بصيغة $y = m x + b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

انقُل $e$ .

$y = - x - 1 x e + 1$

خطوة 2.3.3.2

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$y = - x - x e + 1$

خطوة 2.3.3.3

أخرِج العامل $x$ من $- x$ .

$y = x \cdot - 1 - x e + 1$

خطوة 2.3.3.4

أخرِج العامل $x$ من $- x e$ .

$y = x \cdot - 1 + x (- e) + 1$

خطوة 2.3.3.5

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot - 1 + x (- e)$ .

$y = x \cdot (- 1 - e) + 1$

خطوة 2.3.3.6

اضرب $- 1 - e$ في $x$ .

$y = (- 1 - e) x + 1$

خطوة 3