حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{4} y^{4} = 16$ , $(2, 1)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 2$ و $y = 1$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{4} y^{4}) = \frac{d}{d x} (16)$

خطوة 1.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = y^{4}$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [y^{4}] + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$x^{4} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$x^{4} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 1.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$x^{4} (4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 1.2.3

انقُل $4$ إلى يسار $x^{4}$ .

$4 \cdot x^{4} y^{3} \frac{d}{d x} [y] + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 1.2.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$4 x^{4} y^{3} y' + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 1.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 x^{4} y^{3} y' + y^{4} (4 x^{3})$

خطوة 1.2.6

انقُل $4$ إلى يسار $y^{4}$ .

$4 x^{4} y^{3} y' + 4 y^{4} x^{3}$

خطوة 1.3

بما أن $16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $16$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 1.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$4 x^{4} y^{3} y' + 4 y^{4} x^{3} = 0$

خطوة 1.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اطرح $4 y^{4} x^{3}$ من كلا المتعادلين.

$4 x^{4} y^{3} y' = - 4 y^{4} x^{3}$

خطوة 1.5.2

اقسِم كل حد في $4 x^{4} y^{3} y' = - 4 y^{4} x^{3}$ على $4 x^{4} y^{3}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

اقسِم كل حد في $4 x^{4} y^{3} y' = - 4 y^{4} x^{3}$ على $4 x^{4} y^{3}$ .

$\frac{4 x^{4} y^{3} y'}{4 x^{4} y^{3}} = \frac{- 4 y^{4} x^{3}}{4 x^{4} y^{3}}$

خطوة 1.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 x^{4} y^{3} y'}{4 x^{4} y^{3}} = \frac{- 4 y^{4} x^{3}}{4 x^{4} y^{3}}$

خطوة 1.5.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x^{4} y^{3} y'}{x^{4} y^{3}} = \frac{- 4 y^{4} x^{3}}{4 x^{4} y^{3}}$

خطوة 1.5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{4} y^{3} y'}{x^{4} y^{3}} = \frac{- 4 y^{4} x^{3}}{4 x^{4} y^{3}}$

خطوة 1.5.2.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y^{3} y'}{y^{3}} = \frac{- 4 y^{4} x^{3}}{4 x^{4} y^{3}}$

خطوة 1.5.2.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y^{3} y'}{y^{3}} = \frac{- 4 y^{4} x^{3}}{4 x^{4} y^{3}}$

خطوة 1.5.2.2.3.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 4 y^{4} x^{3}}{4 x^{4} y^{3}}$

خطوة 1.5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.3.1.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4 y^{4} x^{3}$ .

$y' = \frac{4 (- y^{4} x^{3})}{4 x^{4} y^{3}}$

خطوة 1.5.2.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.3.1.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4 x^{4} y^{3}$ .

$y' = \frac{4 (- y^{4} x^{3})}{4 (x^{4} y^{3})}$

خطوة 1.5.2.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{4 (- y^{4} x^{3})}{4 (x^{4} y^{3})}$

خطوة 1.5.2.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{- y^{4} x^{3}}{x^{4} y^{3}}$

خطوة 1.5.2.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $y^{4}$ و $y^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.3.2.1

أخرِج العامل $y^{3}$ من $- y^{4} x^{3}$ .

$y' = \frac{y^{3} (- y x^{3})}{x^{4} y^{3}}$

خطوة 1.5.2.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.3.2.2.1

أخرِج العامل $y^{3}$ من $x^{4} y^{3}$ .

$y' = \frac{y^{3} (- y x^{3})}{y^{3} x^{4}}$

خطوة 1.5.2.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{y^{3} (- y x^{3})}{y^{3} x^{4}}$

خطوة 1.5.2.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{- y x^{3}}{x^{4}}$

خطوة 1.5.2.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $x^{3}$ و $x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.3.3.1

أخرِج العامل $x^{3}$ من $- y x^{3}$ .

$y' = \frac{x^{3} (- y)}{x^{4}}$

خطوة 1.5.2.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.3.3.2.1

أخرِج العامل $x^{3}$ من $x^{4}$ .

$y' = \frac{x^{3} (- y)}{x^{3} x}$

خطوة 1.5.2.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{x^{3} (- y)}{x^{3} x}$

خطوة 1.5.2.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{- y}{x}$

خطوة 1.5.2.3.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{y}{x}$

خطوة 1.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$

خطوة 1.7

احسِب القيمة عند $x = 2$ و $y = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$- \frac{y}{2}$

خطوة 1.7.2

استبدِل المتغير $y$ بـ $1$ في العبارة.

$- \frac{1}{2}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $- \frac{1}{2}$ ونقطة مُعطاة $(2, 1)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{1}{2} \cdot (x - (2))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $- \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 1 = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 2$

خطوة 2.3.1.4

اجمع $x$ و $\frac{1}{2}$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 2$

خطوة 2.3.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.5.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{2}$ إلى بسط الكسر.

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot - 2$

خطوة 2.3.1.5.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 1))$

خطوة 2.3.1.5.3

ألغِ العامل المشترك.

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)$

خطوة 2.3.1.5.4

أعِد كتابة العبارة.

$y - 1 = - \frac{x}{2} - 1 \cdot - 1$

خطوة 2.3.1.6

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} + 1$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$y = - \frac{x}{2} + 1 + 1$

خطوة 2.3.2.2

أضف $1$ و $1$ .

$y = - \frac{x}{2} + 2$

خطوة 2.3.3

اكتب بصيغة $y = m x + b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد ترتيب الحدود.

$y = - (\frac{1}{2} x) + 2$

خطوة 2.3.3.2

احذِف الأقواس.

$y = - \frac{1}{2} x + 2$

خطوة 3