حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y = 8$ , $(4, 0)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 4$ و $y = 0$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y) = \frac{d}{d x} (8)$

خطوة 1.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

خطوة 1.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

خطوة 1.2.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

خطوة 1.2.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

خطوة 1.2.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 x + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 y y' - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 x + 2 y y' - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y]$

خطوة 1.2.3.3

اضرب $- 2$ في $1$ .

$2 x + 2 y y' - 2 + \frac{d}{d x} [4 y]$

خطوة 1.2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 x + 2 y y' - 2 + 4 \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 1.2.4.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 x + 2 y y' - 2 + 4 y'$

خطوة 1.2.5

أعِد ترتيب الحدود.

$2 y y' + 2 x + 4 y' - 2$

خطوة 1.3

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 1.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$2 y y' + 2 x + 4 y' - 2 = 0$

خطوة 1.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

اطرح $2 x$ من كلا المتعادلين.

$2 y y' + 4 y' - 2 = - 2 x$

خطوة 1.5.1.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$2 y y' + 4 y' = - 2 x + 2$

خطوة 1.5.2

أخرِج العامل $2 y'$ من $2 y y' + 4 y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

أخرِج العامل $2 y'$ من $2 y y'$ .

$2 y' y + 4 y' = - 2 x + 2$

خطوة 1.5.2.2

أخرِج العامل $2 y'$ من $4 y'$ .

$2 y' y + 2 y' \cdot 2 = - 2 x + 2$

خطوة 1.5.2.3

أخرِج العامل $2 y'$ من $2 y' y + 2 y' \cdot 2$ .

$2 y' (y + 2) = - 2 x + 2$

خطوة 1.5.3

اقسِم كل حد في $2 y' (y + 2) = - 2 x + 2$ على $2 (y + 2)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

اقسِم كل حد في $2 y' (y + 2) = - 2 x + 2$ على $2 (y + 2)$ .

$\frac{2 y' (y + 2)}{2 (y + 2)} = \frac{- 2 x}{2 (y + 2)} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

خطوة 1.5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y' (y + 2)}{2 (y + 2)} = \frac{- 2 x}{2 (y + 2)} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

خطوة 1.5.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (y + 2)}{y + 2} = \frac{- 2 x}{2 (y + 2)} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

خطوة 1.5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (y + 2)}{y + 2} = \frac{- 2 x}{2 (y + 2)} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

خطوة 1.5.3.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{2 (y + 2)} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

خطوة 1.5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y + 2)} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

خطوة 1.5.3.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y + 2)} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

خطوة 1.5.3.3.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{- x}{y + 2} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

خطوة 1.5.3.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{x}{y + 2} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

خطوة 1.5.3.3.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = - \frac{x}{y + 2} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

خطوة 1.5.3.3.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = - \frac{x}{y + 2} + \frac{1}{y + 2}$

خطوة 1.5.3.3.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{- x + 1}{y + 2}$

خطوة 1.5.3.3.2.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$y' = \frac{- (x) + 1}{y + 2}$

خطوة 1.5.3.3.2.3

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{- (x) - 1 (- 1)}{y + 2}$

خطوة 1.5.3.3.2.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{- (x - 1)}{y + 2}$

خطوة 1.5.3.3.2.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.2.5.1

أعِد كتابة $- (x - 1)$ بالصيغة $- 1 (x - 1)$ .

$y' = \frac{- 1 (x - 1)}{y + 2}$

خطوة 1.5.3.3.2.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{x - 1}{y + 2}$

خطوة 1.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x - 1}{y + 2}$

خطوة 1.7

احسِب القيمة عند $x = 4$ و $y = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $4$ في العبارة.

$- \frac{(4) - 1}{y + 2}$

خطوة 1.7.2

استبدِل المتغير $y$ بـ $0$ في العبارة.

$- \frac{(4) - 1}{(0) + 2}$

خطوة 1.7.3

اطرح $1$ من $4$ .

$- \frac{3}{0 + 2}$

خطوة 1.7.4

أضف $0$ و $2$ .

$- \frac{3}{2}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $- \frac{3}{2}$ ونقطة مُعطاة $(4, 0)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = - \frac{3}{2} \cdot (x - (4))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y + 0 = - \frac{3}{2} \cdot (x - 4)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أضف $y$ و $0$ .

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - 4)$

خطوة 2.3.2

بسّط $- \frac{3}{2} \cdot (x - 4)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot - 4$

خطوة 2.3.2.1.2

اجمع $x$ و $\frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot - 4$

خطوة 2.3.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{3}{2}$ إلى بسط الكسر.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot - 4$

خطوة 2.3.2.1.3.2

أخرِج العامل $2$ من $- 4$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (- 2))$

خطوة 2.3.2.1.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot - 2)$

خطوة 2.3.2.1.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - 3 \cdot - 2$

خطوة 2.3.2.1.4

اضرب $- 3$ في $- 2$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + 6$

خطوة 2.3.2.2

انقُل $3$ إلى يسار $x$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + 6$

خطوة 2.3.3

اكتب بصيغة $y = m x + b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد ترتيب الحدود.

$y = - (\frac{3}{2} x) + 6$

خطوة 2.3.3.2

احذِف الأقواس.

$y = - \frac{3}{2} x + 6$

خطوة 3