حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} + x y - y^{2} = 11$ , $(3, 1)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 3$ و $y = 1$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + x y - y^{2}) = \frac{d}{d x} (11)$

خطوة 1.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + x y - y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

خطوة 1.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$2 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

خطوة 1.2.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

خطوة 1.2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 x + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

خطوة 1.2.2.4

اضرب $y$ في $1$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x + x y' + y - \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$2 x + x y' + y - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 1.2.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + x y' + y - (2 u \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 1.2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$2 x + x y' + y - (2 y \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 1.2.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 x + x y' + y - (2 y y')$

خطوة 1.2.3.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$2 x + x y' + y - 2 y y'$

خطوة 1.2.4

أعِد ترتيب الحدود.

$x y' - 2 y y' + 2 x + y$

خطوة 1.3

بما أن $11$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $11$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 1.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$x y' - 2 y y' + 2 x + y = 0$

خطوة 1.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

اطرح $2 x$ من كلا المتعادلين.

$x y' - 2 y y' + y = - 2 x$

خطوة 1.5.1.2

اطرح $y$ من كلا المتعادلين.

$x y' - 2 y y' = - 2 x - y$

خطوة 1.5.2

أخرِج العامل $y'$ من $x y' - 2 y y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

أخرِج العامل $y'$ من $x y'$ .

$y' x - 2 y y' = - 2 x - y$

خطوة 1.5.2.2

أخرِج العامل $y'$ من $- 2 y y'$ .

$y' (x) + y' (- 2 y) = - 2 x - y$

خطوة 1.5.2.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (x) + y' (- 2 y)$ .

$y' (x - 2 y) = - 2 x - y$

خطوة 1.5.3

اقسِم كل حد في $y' (x - 2 y) = - 2 x - y$ على $x - 2 y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

اقسِم كل حد في $y' (x - 2 y) = - 2 x - y$ على $x - 2 y$ .

$\frac{y' (x - 2 y)}{x - 2 y} = \frac{- 2 x}{x - 2 y} + \frac{- y}{x - 2 y}$

خطوة 1.5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 2 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (x - 2 y)}{x - 2 y} = \frac{- 2 x}{x - 2 y} + \frac{- y}{x - 2 y}$

خطوة 1.5.3.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{x - 2 y} + \frac{- y}{x - 2 y}$

خطوة 1.5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{- 2 x - y}{x - 2 y}$

خطوة 1.5.3.3.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) - y}{x - 2 y}$

خطوة 1.5.3.3.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- y$ .

$y' = \frac{- (2 x) - (y)}{x - 2 y}$

خطوة 1.5.3.3.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 x) - (y)$ .

$y' = \frac{- (2 x + y)}{x - 2 y}$

خطوة 1.5.3.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.5.1

أعِد كتابة $- (2 x + y)$ بالصيغة $- 1 (2 x + y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x + y)}{x - 2 y}$

خطوة 1.5.3.3.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{2 x + y}{x - 2 y}$

خطوة 1.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + y}{x - 2 y}$

خطوة 1.7

احسِب القيمة عند $x = 3$ و $y = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$- \frac{2 (3) + y}{(3) - 2 y}$

خطوة 1.7.2

استبدِل المتغير $y$ بـ $1$ في العبارة.

$- \frac{2 (3) + 1}{(3) - 2 \cdot 1}$

خطوة 1.7.3

احذِف الأقواس.

$- \frac{2 (3) + 1}{(3) - 2 \cdot 1}$

خطوة 1.7.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

اضرب $2$ في $3$ .

$- \frac{6 + 1}{3 - 2 \cdot 1}$

خطوة 1.7.4.2

أضف $6$ و $1$ .

$- \frac{7}{3 - 2 \cdot 1}$

خطوة 1.7.5

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.5.1

اضرب $- 2$ في $1$ .

$- \frac{7}{3 - 2}$

خطوة 1.7.5.2

اطرح $2$ من $3$ .

$- \frac{7}{1}$

خطوة 1.7.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.6.1

اقسِم $7$ على $1$ .

$- 1 \cdot 7$

خطوة 1.7.6.2

اضرب $- 1$ في $7$ .

$- 7$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $- 7$ ونقطة مُعطاة $(3, 1)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - 7 \cdot (x - (3))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 1 = - 7 \cdot (x - 3)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $- 7 \cdot (x - 3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 1 = 0 + 0 - 7 \cdot (x - 3)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 1 = - 7 \cdot (x - 3)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 1 = - 7 x - 7 \cdot - 3$

خطوة 2.3.1.4

اضرب $- 7$ في $- 3$ .

$y - 1 = - 7 x + 21$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$y = - 7 x + 21 + 1$

خطوة 2.3.2.2

أضف $21$ و $1$ .

$y = - 7 x + 22$

خطوة 3