حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{8} = 16$ , $(4, 8)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 4$ و $y = 8$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{8}) = \frac{d}{d x} (16)$

خطوة 1.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{8}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x^{2}}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

خطوة 1.2.2.3

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

خطوة 1.2.2.4

اجمع $\frac{2}{2}$ و $x$ .

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

خطوة 1.2.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

خطوة 1.2.2.5.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{8}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $\frac{1}{8}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{y^{2}}{8}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$x + \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$x + \frac{1}{8} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 1.2.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x + \frac{1}{8} (2 u \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 1.2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$x + \frac{1}{8} (2 y \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 1.2.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x + \frac{1}{8} (2 y y')$

خطوة 1.2.3.4

اجمع $2$ و $\frac{1}{8}$ .

$x + \frac{2}{8} (y y')$

خطوة 1.2.3.5

اجمع $y$ و $\frac{2}{8}$ .

$x + \frac{y \cdot 2}{8} y'$

خطوة 1.2.3.6

اجمع $\frac{y \cdot 2}{8}$ و $y'$ .

$x + \frac{y \cdot 2 y'}{8}$

خطوة 1.2.3.7

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$x + \frac{2 \cdot y y'}{8}$

خطوة 1.2.3.8

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.8.1

أخرِج العامل $2$ من $2 y y'$ .

$x + \frac{2 (y y')}{8}$

خطوة 1.2.3.8.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.8.2.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$x + \frac{2 (y y')}{2 \cdot 4}$

خطوة 1.2.3.8.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x + \frac{2 (y y')}{2 \cdot 4}$

خطوة 1.2.3.8.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x + \frac{y y'}{4}$

خطوة 1.3

بما أن $16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $16$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 1.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$x + \frac{y y'}{4} = 0$

خطوة 1.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اطرح $x$ من كلا المتعادلين.

$\frac{y y'}{4} = - x$

خطوة 1.5.2

اضرب كلا المتعادلين في $4$ .

$4 \frac{y y'}{4} = 4 (- x)$

خطوة 1.5.3

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$4 \frac{y y'}{4} = 4 (- x)$

خطوة 1.5.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y y' = 4 (- x)$

خطوة 1.5.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$y y' = - 4 x$

خطوة 1.5.4

اقسِم كل حد في $y y' = - 4 x$ على $y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

اقسِم كل حد في $y y' = - 4 x$ على $y$ .

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4 x}{y}$

خطوة 1.5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4 x}{y}$

خطوة 1.5.4.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 4 x}{y}$

خطوة 1.5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{4 x}{y}$

خطوة 1.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{y}$

خطوة 1.7

احسِب القيمة عند $x = 4$ و $y = 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $4$ في العبارة.

$- \frac{4 (4)}{y}$

خطوة 1.7.2

استبدِل المتغير $y$ بـ $8$ في العبارة.

$- \frac{4 (4)}{8}$

خطوة 1.7.3

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$- \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 2}$

خطوة 1.7.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 2}$

خطوة 1.7.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{4}{2}$

خطوة 1.7.4

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$- \frac{2 \cdot 2}{2}$

خطوة 1.7.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

خطوة 1.7.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.7.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{2}{1}$

خطوة 1.7.4.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$- 1 \cdot 2$

خطوة 1.7.5

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $- 2$ ونقطة مُعطاة $(4, 8)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (8) = - 2 \cdot (x - (4))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 8 = - 2 \cdot (x - 4)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $- 2 \cdot (x - 4)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 8 = 0 + 0 - 2 \cdot (x - 4)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 8 = - 2 \cdot (x - 4)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 8 = - 2 x - 2 \cdot - 4$

خطوة 2.3.1.4

اضرب $- 2$ في $- 4$ .

$y - 8 = - 2 x + 8$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $8$ إلى كلا المتعادلين.

$y = - 2 x + 8 + 8$

خطوة 2.3.2.2

أضف $8$ و $8$ .

$y = - 2 x + 16$

خطوة 3