حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sin (y) = 5 x^{4} - 5$ , $(1, π)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 1$ و $y = π$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (\sin (y)) = \frac{d}{d x} (5 x^{4} - 5)$

خطوة 1.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 1.2.1.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 1.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$\cos (y) \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\cos (y) y'$

خطوة 1.3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 x^{4} - 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 1.3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 1.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 1.3.2.3

اضرب $4$ في $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$20 x^{3} + 0$

خطوة 1.3.3.2

أضف $20 x^{3}$ و $0$ .

$20 x^{3}$

خطوة 1.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$\cos (y) y' = 20 x^{3}$

خطوة 1.5

اقسِم كل حد في $\cos (y) y' = 20 x^{3}$ على $\cos (y)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اقسِم كل حد في $\cos (y) y' = 20 x^{3}$ على $\cos (y)$ .

$\frac{\cos (y) y'}{\cos (y)} = \frac{20 x^{3}}{\cos (y)}$

خطوة 1.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\cos (y) y'}{\cos (y)} = \frac{20 x^{3}}{\cos (y)}$

خطوة 1.5.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{20 x^{3}}{\cos (y)}$

خطوة 1.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{20 x^{3}}{\cos (y)}$

خطوة 1.7

احسِب القيمة عند $x = 1$ و $y = π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$\frac{20 {(1)}^{3}}{\cos (y)}$

خطوة 1.7.2

استبدِل المتغير $y$ بـ $π$ في العبارة.

$\frac{20 {(1)}^{3}}{\cos (π)}$

خطوة 1.7.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{20 \cdot 1}{\cos (π)}$

خطوة 1.7.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$\frac{20 \cdot 1}{- \cos (0)}$

خطوة 1.7.4.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{20 \cdot 1}{- 1 \cdot 1}$

خطوة 1.7.4.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{20 \cdot 1}{- 1}$

خطوة 1.7.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.5.1

اضرب $20$ في $1$ .

$\frac{20}{- 1}$

خطوة 1.7.5.2

اقسِم $20$ على $- 1$ .

$- 20$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $- 20$ ونقطة مُعطاة $(1, π)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (π) = - 20 \cdot (x - (1))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - π = - 20 \cdot (x - 1)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $- 20 \cdot (x - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - π = 0 + 0 - 20 \cdot (x - 1)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - π = - 20 \cdot (x - 1)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - π = - 20 x - 20 \cdot - 1$

خطوة 2.3.1.4

اضرب $- 20$ في $- 1$ .

$y - π = - 20 x + 20$

خطوة 2.3.2

أضف $π$ إلى كلا المتعادلين.

$y = - 20 x + 20 + π$

خطوة 3