حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} y^{2} = 36$ , $(- 1, - 6)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = - 1$ و $y = - 6$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{2}) = \frac{d}{d x} (36)$

خطوة 1.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.2.3

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.2.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x)$

خطوة 1.2.6

انقُل $2$ إلى يسار $y^{2}$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

خطوة 1.3

بما أن $36$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $36$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 1.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x = 0$

خطوة 1.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اطرح $2 y^{2} x$ من كلا المتعادلين.

$2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x$

خطوة 1.5.2

اقسِم كل حد في $2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x$ على $2 x^{2} y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

اقسِم كل حد في $2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x$ على $2 x^{2} y$ .

$\frac{2 x^{2} y y'}{2 x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

خطوة 1.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x^{2} y y'}{2 x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

خطوة 1.5.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x^{2} y y'}{x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

خطوة 1.5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} y y'}{x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

خطوة 1.5.2.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

خطوة 1.5.2.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

خطوة 1.5.2.2.3.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

خطوة 1.5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 y^{2} x$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 x^{2} y}$

خطوة 1.5.2.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.3.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{2} y$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x^{2} y)}$

خطوة 1.5.2.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x^{2} y)}$

خطوة 1.5.2.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{- y^{2} x}{x^{2} y}$

خطوة 1.5.2.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $y^{2}$ و $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.3.2.1

أخرِج العامل $y$ من $- y^{2} x$ .

$y' = \frac{y (- y x)}{x^{2} y}$

خطوة 1.5.2.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.3.2.2.1

أخرِج العامل $y$ من $x^{2} y$ .

$y' = \frac{y (- y x)}{y x^{2}}$

خطوة 1.5.2.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{y (- y x)}{y x^{2}}$

خطوة 1.5.2.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{- y x}{x^{2}}$

خطوة 1.5.2.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.3.3.1

أخرِج العامل $x$ من $- y x$ .

$y' = \frac{x (- y)}{x^{2}}$

خطوة 1.5.2.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.3.3.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- y)}{x \cdot x}$

خطوة 1.5.2.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{x (- y)}{x \cdot x}$

خطوة 1.5.2.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{- y}{x}$

خطوة 1.5.2.3.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{y}{x}$

خطوة 1.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$

خطوة 1.7

احسِب القيمة عند $x = - 1$ و $y = - 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$- \frac{y}{- 1}$

خطوة 1.7.2

استبدِل المتغير $y$ بـ $- 6$ في العبارة.

$- \frac{- 6}{- 1}$

خطوة 1.7.3

اقسِم $- 6$ على $- 1$ .

$- 1 \cdot 6$

خطوة 1.7.4

اضرب $- 1$ في $6$ .

$- 6$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $- 6$ ونقطة مُعطاة $(- 1, - 6)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 6) = - 6 \cdot (x - (- 1))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y + 6 = - 6 \cdot (x + 1)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $- 6 \cdot (x + 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y + 6 = 0 + 0 - 6 \cdot (x + 1)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y + 6 = - 6 \cdot (x + 1)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y + 6 = - 6 x - 6 \cdot 1$

خطوة 2.3.1.4

اضرب $- 6$ في $1$ .

$y + 6 = - 6 x - 6$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اطرح $6$ من كلا المتعادلين.

$y = - 6 x - 6 - 6$

خطوة 2.3.2.2

اطرح $6$ من $- 6$ .

$y = - 6 x - 12$

خطوة 3