حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y^{4}} = 2$ , $(1, 1)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 1$ و $y = 1$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة الطرف الأيسر بأُسس كسرية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{3}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{y^{4}} = 2$

خطوة 1.1.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{y^{4}}$ في صورة $y^{\frac{4}{3}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{4}{3}} = 2$

خطوة 1.2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{4}{3}}) = \frac{d}{d x} (2)$

خطوة 1.3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{4}{3}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

خطوة 1.3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

خطوة 1.3.2.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

خطوة 1.3.2.3

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

خطوة 1.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

خطوة 1.3.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.5.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

خطوة 1.3.2.5.2

اطرح $3$ من $1$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

خطوة 1.3.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

خطوة 1.3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{4}{3}}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{4}{3}}] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 1.3.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} u^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 1.3.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 1.3.3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1} y'$

خطوة 1.3.3.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} y'$

خطوة 1.3.3.4

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} y'$

خطوة 1.3.3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} y'$

خطوة 1.3.3.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.6.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4 - 3}{3}} y'$

خطوة 1.3.3.6.2

اطرح $3$ من $4$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{1}{3}} y'$

خطوة 1.3.3.7

اجمع $\frac{4}{3}$ و $y^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}}}{3} y'$

خطوة 1.3.3.8

اجمع $\frac{4 y^{\frac{1}{3}}}{3}$ و $y'$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

خطوة 1.3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

خطوة 1.3.4.2

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

خطوة 1.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 1.5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3} = 0$

خطوة 1.6

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$

خطوة 1.6.2

اطرح $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3} = - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 1.6.3

اضرب كلا المتعادلين في $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

خطوة 1.6.4

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.4.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.4.1.1

بسّط $\frac{3}{4} \cdot \frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.4.1.1.1

اجمع.

$\frac{3 (4 y' y^{\frac{1}{3}})}{4 \cdot 3} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

خطوة 1.6.4.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 (4 y' y^{\frac{1}{3}})}{4 \cdot 3} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

خطوة 1.6.4.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{4} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

خطوة 1.6.4.1.1.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{4} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

خطوة 1.6.4.1.1.5

اقسِم $y' y^{\frac{1}{3}}$ على $1$ .

$y' y^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

خطوة 1.6.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.4.2.1

بسّط $\frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.4.2.1.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ إلى بسط الكسر.

$y' y^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{- 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 1.6.4.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' y^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{- 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 1.6.4.2.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' y^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 1.6.4.2.1.2

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$y' y^{\frac{1}{3}} = \frac{- 1}{4 x^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 1.6.4.2.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' y^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 1.6.5

اقسِم كل حد في $y' y^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}$ على $y^{\frac{1}{3}}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.5.1

اقسِم كل حد في $y' y^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}$ على $y^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{y' y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} = \frac{- \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}}{y^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 1.6.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} = \frac{- \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}}{y^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 1.6.5.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}}{y^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 1.6.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.5.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y' = - \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 1.6.5.3.2

اضرب $\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ في $\frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$y' = - \frac{1}{y^{\frac{1}{3}} (4 x^{\frac{2}{3}})}$

خطوة 1.6.5.3.3

انقُل $4$ إلى يسار $y^{\frac{1}{3}}$ .

$y' = - \frac{1}{4 y^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 1.7

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4 y^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 1.8

احسِب القيمة عند $x = 1$ و $y = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$- \frac{1}{4 y^{\frac{1}{3}} {(1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 1.8.2

استبدِل المتغير $y$ بـ $1$ في العبارة.

$- \frac{1}{4 {(1)}^{\frac{1}{3}} {(1)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 1.8.3

اضرب ${(1)}^{\frac{1}{3}}$ في ${(1)}^{\frac{2}{3}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.3.1

انقُل ${(1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{1}{4 ({(1)}^{\frac{2}{3}} {(1)}^{\frac{1}{3}})}$

خطوة 1.8.3.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{1}{4 \cdot 1^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}$

خطوة 1.8.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{1}{4 \cdot 1^{\frac{2 + 1}{3}}}$

خطوة 1.8.3.4

أضف $2$ و $1$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 1^{\frac{3}{3}}}$

خطوة 1.8.3.5

اقسِم $3$ على $3$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 1^{1}}$

خطوة 1.8.4

بسّط $4 \cdot 1^{1}$ .

$- \frac{1}{4}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $- \frac{1}{4}$ ونقطة مُعطاة $(1, 1)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{1}{4} \cdot (x - (1))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 1 = - \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $- \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 1 = - \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 1 = - \frac{1}{4} x - \frac{1}{4} \cdot - 1$

خطوة 2.3.1.4

اجمع $x$ و $\frac{1}{4}$ .

$y - 1 = - \frac{x}{4} - \frac{1}{4} \cdot - 1$

خطوة 2.3.1.5

اضرب $- \frac{1}{4} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{4} + 1 (\frac{1}{4})$

خطوة 2.3.1.5.2

اضرب $\frac{1}{4}$ في $1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{4} + \frac{1}{4}$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{1}{4} + 1$

خطوة 2.3.2.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{1}{4} + \frac{4}{4}$

خطوة 2.3.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{1 + 4}{4}$

خطوة 2.3.2.4

أضف $1$ و $4$ .

$y = - \frac{x}{4} + \frac{5}{4}$

خطوة 2.3.3

اكتب بصيغة $y = m x + b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

أعِد ترتيب الحدود.

$y = - (\frac{1}{4} x) + \frac{5}{4}$

خطوة 2.3.3.2

احذِف الأقواس.

$y = - \frac{1}{4} x + \frac{5}{4}$

خطوة 3