حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{lim_{x \to 0} {(1 + h)}^{4} - 1}{h}$

خطوة 1

احسِب قيمة حد ${(1 + h)}^{4} - 1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{{(1 + h)}^{4} - 1}{h}$

خطوة 2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أعِد كتابة ${(1 + h)}^{4}$ بالصيغة ${({(1 + h)}^{2})}^{2}$ .

$\frac{{({(1 + h)}^{2})}^{2} - 1}{h}$

خطوة 2.1.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{{({(1 + h)}^{2})}^{2} - 1^{2}}{h}$

خطوة 2.1.3

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = {(1 + h)}^{2}$ و $b = 1$ .

$\frac{({(1 + h)}^{2} + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

خطوة 2.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

أعِد كتابة ${(1 + h)}^{2}$ بالصيغة $(1 + h) (1 + h)$ .

$\frac{((1 + h) (1 + h) + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

خطوة 2.1.4.2

وسّع $(1 + h) (1 + h)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(1 (1 + h) + h (1 + h) + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

خطوة 2.1.4.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 h + h (1 + h) + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

خطوة 2.1.4.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 h + h \cdot 1 + h \cdot h + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

خطوة 2.1.4.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.3.1.1

اضرب $1$ في $1$ .

$\frac{(1 + 1 h + h \cdot 1 + h \cdot h + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

خطوة 2.1.4.3.1.2

اضرب $h$ في $1$ .

$\frac{(1 + h + h \cdot 1 + h \cdot h + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

خطوة 2.1.4.3.1.3

اضرب $h$ في $1$ .

$\frac{(1 + h + h + h \cdot h + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

خطوة 2.1.4.3.1.4

اضرب $h$ في $h$ .

$\frac{(1 + h + h + h^{2} + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

خطوة 2.1.4.3.2

أضف $h$ و $h$ .

$\frac{(1 + 2 h + h^{2} + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

خطوة 2.1.4.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{(2 h + h^{2} + 2) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

خطوة 2.1.4.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

خطوة 2.1.4.6

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ({(1 + h)}^{2} - 1^{2})}{h}$

خطوة 2.1.4.7

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 1 + h$ و $b = 1$ .

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ((1 + h + 1) (1 + h - 1))}{h}$

خطوة 2.1.4.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.8.1

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ((h + 2) (1 + h - 1))}{h}$

خطوة 2.1.4.8.2

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ((h + 2) (h + 0))}{h}$

خطوة 2.1.4.8.3

أضف $h$ و $0$ .

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ((h + 2) h)}{h}$

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) (h + 2) h}{h}$

خطوة 2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) (h + 2) h}{h}$

خطوة 2.2.2

اقسِم $(h^{2} + 2 h + 2) (h + 2)$ على $1$ .

$(h^{2} + 2 h + 2) (h + 2)$

خطوة 2.3

وسّع $(h^{2} + 2 h + 2) (h + 2)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$h^{2} h + h^{2} \cdot 2 + 2 h \cdot h + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

خطوة 2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

اضرب $h^{2}$ في $h$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1.1

اضرب $h^{2}$ في $h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1.1.1

ارفع $h$ إلى القوة $1$ .

$h^{2} h^{1} + h^{2} \cdot 2 + 2 h \cdot h + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

خطوة 2.4.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$h^{2 + 1} + h^{2} \cdot 2 + 2 h \cdot h + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

خطوة 2.4.1.2

أضف $2$ و $1$ .

$h^{3} + h^{2} \cdot 2 + 2 h \cdot h + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

خطوة 2.4.2

انقُل $2$ إلى يسار $h^{2}$ .

$h^{3} + 2 \cdot h^{2} + 2 h \cdot h + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

خطوة 2.4.3

اضرب $h$ في $h$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1

انقُل $h$ .

$h^{3} + 2 h^{2} + 2 (h \cdot h) + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

خطوة 2.4.3.2

اضرب $h$ في $h$ .

$h^{3} + 2 h^{2} + 2 h^{2} + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

خطوة 2.4.4

اضرب $2$ في $2$ .

$h^{3} + 2 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h + 2 h + 2 \cdot 2$

خطوة 2.4.5

اضرب $2$ في $2$ .

$h^{3} + 2 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h + 2 h + 4$

خطوة 2.5

أضف $2 h^{2}$ و $2 h^{2}$ .

$h^{3} + 4 h^{2} + 4 h + 2 h + 4$

خطوة 2.6

أضف $4 h$ و $2 h$ .

$h^{3} + 4 h^{2} + 6 h + 4$