حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\ln (\sqrt{x + 1})$

خطوة 1

أوجِد نطاق $y = \ln (\sqrt{x + 1})$ بحيث يمكن انتقاء قائمة قيم $x$ لإيجاد قائمة النقاط، والتي ستساعد في رسم الدالة الجذرية بيانيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\ln (\sqrt{x + 1})$ بحيث تصبح أكبر من $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$\sqrt{x + 1} > 0$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لحذف الجذر في الطرف الأيسر للمتباينة، ربّع كلا طرفي المتباينة.

${\sqrt{x + 1}}^{2} > 0^{2}$

خطوة 1.2.2

بسّط كل طرف من طرفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x + 1}$ في صورة ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

خطوة 1.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1

بسّط ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1.1

اضرب الأُسس في ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

خطوة 1.2.2.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

خطوة 1.2.2.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

${(x + 1)}^{1} > 0^{2}$

خطوة 1.2.2.2.1.2

بسّط.

$x + 1 > 0^{2}$

خطوة 1.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$x + 1 > 0$

خطوة 1.2.3

اطرح $1$ من كلا طرفي المتباينة.

$x > - 1$

خطوة 1.2.4

أوجِد نطاق $\sqrt{x + 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{x + 1}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$x + 1 \geq 0$

خطوة 1.2.4.2

اطرح $1$ من كلا طرفي المتباينة.

$x \geq - 1$

خطوة 1.2.4.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$[- 1, \infty)$

خطوة 1.2.5

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$x > - 1$

خطوة 1.3

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{x + 1}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$x + 1 \geq 0$

خطوة 1.4

اطرح $1$ من كلا طرفي المتباينة.

$x \geq - 1$

خطوة 1.5

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- 1, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x > - 1}$

ترميز الفترة:

$(- 1, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x > - 1}$

خطوة 2

لإيجاد نقطة نهاية العبارة الجذرية، عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 1$ ، وهي أدنى قيمة في النطاق، في $f (x) = \ln (\sqrt{x + 1})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f (- 1) = \ln (\sqrt{(- 1) + 1})$

خطوة 2.2

أضف $- 1$ و $1$ .

$f (- 1) = \ln (\sqrt{0})$

خطوة 2.3

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$f (- 1) = \ln (\sqrt{0^{2}})$

خطوة 2.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$f (- 1) = \ln (0)$

خطوة 2.5

اللوغاريتم الطبيعي للصفر يساوي قيمة غير معرّفة.

$f (- 1) = Undefined$

غير معرّف

خطوة 3

نقطة نهاية العبارة الجذرية هي $(- 1, Undefined)$ .

$(- 1, Undefined)$

خطوة 4

حدد بضع قيم $x$ من النطاق. سيكون من المفيد أكثر تحديد القيم بحيث تكون مجاورة لقيمة $x$ لنقطة نهاية العبارة الجذرية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ في $f (x) = \ln (\sqrt{x + 1})$ . في هذه الحالة، النقطة هي $(0, 0)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = \ln (\sqrt{(0) + 1})$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

أضف $0$ و $1$ .

$f (0) = \ln (\sqrt{1})$

خطوة 4.1.2.2

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$f (0) = \ln (1)$

خطوة 4.1.2.3

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$f (0) = 0$

خطوة 4.1.2.4

الإجابة النهائية هي $0$ .

$y = 0$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $1$ في $f (x) = \ln (\sqrt{x + 1})$ . في هذه الحالة، النقطة هي $(1, \ln (\sqrt{2}))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f (1) = \ln (\sqrt{(1) + 1})$

خطوة 4.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

أضف $1$ و $1$ .

$f (1) = \ln (\sqrt{2})$

خطوة 4.2.2.2

الإجابة النهائية هي $\ln (\sqrt{2})$ .

$y = \ln (\sqrt{2})$

خطوة 4.3

يمكن تمثيل الجذر التربيعي بيانيًا باستخدام النقاط الواقعة حول الرأس $(- 1, Undefined), (0, 0), (1, 0.35)$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & Undefined \\ 0 & 0 \\ 1 & 0.35 \end{array}$

خطوة 5