حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{1 - 2 \ln (x)}{x^{3}}$

خطوة 1

أوجِد خطوط التقارب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد الموضع الذي تكون فيه العبارة $\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$ غير معرّفة.

$x = 0$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $lim_{x \to \infty} \frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$ لإيجاد خط التقارب الأفقي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 - \ln (x^{2})}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

خطوة 1.2.1.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1.2.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1.2.1.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \ln (x^{2})}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

خطوة 1.2.1.1.2.1.2

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$\frac{1 - lim_{x \to \infty} \ln (x^{2})}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

خطوة 1.2.1.1.2.2

عند اقتراب اللوغاريتم من ما لا نهاية، تتجه القيمة إلى $\infty$ .

$\frac{1 - \infty}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

خطوة 1.2.1.1.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1.2.3.1

حاصل ضرب الثابت غير الصفري في ما لا نهاية يساوي ما لا نهاية.

$\frac{1 + - \infty}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

خطوة 1.2.1.1.2.3.2

ما لا نهاية زائد أو ناقص أي عدد يساوي ما لا نهاية.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} x^{3}}$

خطوة 1.2.1.1.3

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$\frac{- \infty}{\infty}$

خطوة 1.2.1.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{- \infty}{\infty}$

خطوة 1.2.1.2

بما أن $\frac{- \infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \ln (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

خطوة 1.2.1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \ln (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

خطوة 1.2.1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - \ln (x^{2})$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

خطوة 1.2.1.3.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

خطوة 1.2.1.3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.3.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \ln (x^{2})$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

خطوة 1.2.1.3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.3.4.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

خطوة 1.2.1.3.4.2.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

خطوة 1.2.1.3.4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

خطوة 1.2.1.3.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - (\frac{1}{x^{2}} (2 x))}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

خطوة 1.2.1.3.4.4

اجمع $2$ و $\frac{1}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - (\frac{2}{x^{2}} x)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

خطوة 1.2.1.3.4.5

اجمع $\frac{2}{x^{2}}$ و $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{2 x}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

خطوة 1.2.1.3.4.6

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.3.4.6.1

أخرِج العامل $x$ من $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{x \cdot 2}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

خطوة 1.2.1.3.4.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.3.4.6.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

خطوة 1.2.1.3.4.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

خطوة 1.2.1.3.4.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{2}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

خطوة 1.2.1.3.5

اطرح $\frac{2}{x}$ من $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

خطوة 1.2.1.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{x}}{3 x^{2}}$

خطوة 1.2.1.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{x \to \infty} - \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{3 x^{2}}$

خطوة 1.2.1.5

جمّع العوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.5.1

اضرب $\frac{1}{3 x^{2}}$ في $\frac{2}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} - \frac{2}{3 x^{2} x}$

خطوة 1.2.1.5.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$lim_{x \to \infty} - \frac{2}{3 (x^{1} x^{2})}$

خطوة 1.2.1.5.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$lim_{x \to \infty} - \frac{2}{3 x^{1 + 2}}$

خطوة 1.2.1.5.4

أضف $1$ و $2$ .

$lim_{x \to \infty} - \frac{2}{3 x^{3}}$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

انقُل الحد $- 1$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$- lim_{x \to \infty} \frac{2}{3 x^{3}}$

خطوة 1.2.2.2

انقُل الحد $\frac{2}{3}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$- \frac{2}{3} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}$

خطوة 1.2.3

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x^{3}}$ يقترب من $0$ .

$- \frac{2}{3} \cdot 0$

خطوة 1.2.4

اضرب $- \frac{2}{3} \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$0 (\frac{2}{3})$

خطوة 1.2.4.2

اضرب $0$ في $\frac{2}{3}$ .

$0$

خطوة 1.3

اسرِد خطوط التقارب الأفقية:

$y = 0$

خطوة 1.4

لا توجد خطوط تقارب مائلة للدوال اللوغاريتمية والمثلثية.

لا توجد خطوط تقارب مائلة

خطوة 1.5

هذه هي مجموعة جميع خطوط التقارب.

خطوط التقارب الرأسية: $x = 0$

خطوط التقارب الأفقية: $y = 0$

خطوط التقارب الرأسية: $x = 0$

خطوط التقارب الأفقية: $y = 0$

خطوة 2

أوجِد النقطة في $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f (1) = \frac{1 - 2 \ln (1)}{{(1)}^{3}}$

خطوة 2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$f (1) = \frac{1 - 2 \cdot 0}{1^{3}}$

خطوة 2.2.1.2

اضرب $- 2$ في $0$ .

$f (1) = \frac{1 + 0}{1^{3}}$

خطوة 2.2.1.3

أضف $1$ و $0$ .

$f (1) = \frac{1}{1^{3}}$

خطوة 2.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (1) = \frac{1}{1}$

خطوة 2.2.2.2

اقسِم $1$ على $1$ .

$f (1) = 1$

خطوة 2.2.3

الإجابة النهائية هي $1$ .

$1$

خطوة 2.3

حوّل $1$ إلى رقم عشري.

$y = 1$

خطوة 3

أوجِد النقطة في $x = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f (2) = \frac{1 - 2 \ln (2)}{{(2)}^{3}}$

خطوة 3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بسّط $- 2 \ln (2)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$f (2) = \frac{1 - \ln (2^{2})}{2^{3}}$

خطوة 3.2.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f (2) = \frac{1 - \ln (4)}{2^{3}}$

خطوة 3.2.2

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$f (2) = \frac{1 - \ln (4)}{8}$

خطوة 3.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{1 - \ln (4)}{8}$ .

$\frac{1 - \ln (4)}{8}$

خطوة 3.3

حوّل $\frac{1 - \ln (4)}{8}$ إلى رقم عشري.

$y = - 0.04828679$

خطوة 4

أوجِد النقطة في $x = 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$f (3) = \frac{1 - 2 \ln (3)}{{(3)}^{3}}$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

بسّط $- 2 \ln (3)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$f (3) = \frac{1 - \ln (3^{2})}{3^{3}}$

خطوة 4.2.1.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f (3) = \frac{1 - \ln (9)}{3^{3}}$

خطوة 4.2.2

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$f (3) = \frac{1 - \ln (9)}{27}$

خطوة 4.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{1 - \ln (9)}{27}$ .

$\frac{1 - \ln (9)}{27}$

خطوة 4.3

حوّل $\frac{1 - \ln (9)}{27}$ إلى رقم عشري.

$y = - 0.04434165$

خطوة 5

يمكن تمثيل دالة اللوغاريتم بيانيًا باستخدام خط التقارب الرأسي عند $x = 0$ والنقاط $(1, 1), (2, - 0.04828679), (3, - 0.04434165)$ .

خط التقارب الرأسي: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 1 \\ 2 & - 0.048 \\ 3 & - 0.044 \end{array}$

خطوة 6