حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{1}{3} \cdot ({(4 + \frac{1}{x})}^{3} (\ln (x)))$

خطوة 1

أوجِد خطوط التقارب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد الموضع الذي تكون فيه العبارة $\frac{\ln (x) {(4 x + 1)}^{3}}{3 x^{3}}$ غير معرّفة.

$x \leq 0$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{\ln (x) {(4 x + 1)}^{3}}{3 x^{3}}$ $\to$ $\infty$ عندما $x$ $\to$ $0$ من جهة اليسار و $\frac{\ln (x) {(4 x + 1)}^{3}}{3 x^{3}}$ $\to$ $- \infty$ عندما $x$ $\to$ $0$ من جهة اليمين، إذن $x = 0$ خط تقارب رأسي.

$x = 0$

خطوة 1.3

متجاهلاً اللوغاريتم، ضَع في اعتبارك الدالة الكسرية $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ حيث $n$ هي درجة البسط و $m$ هي درجة القاسم.

1. إذا كانت $n < m$ ، فإن المحور السيني، $y = 0$ ، هو خط التقارب الأفقي.

2. في حالة $n = m$ ، فإن خط التقارب الأفقي هو الخط $y = \frac{a}{b}$ .

3. في حالة $n > m$ ، لا يوجد خط تقارب أفقي (يوجد خط تقارب مائل).

خطوة 1.4

أوجِد $n$ و $m$ .

$n = 3$

$m = 3$

خطوة 1.5

بما أن $n = m$ ، إذن خط التقارب الأفقي هو الخط $y = \frac{a}{b}$ حيث إن $a = 64$ و $b = 3$ .

$y = \frac{64}{3}$

خطوة 1.6

لا توجد خطوط تقارب مائلة للدوال اللوغاريتمية والمثلثية.

لا توجد خطوط تقارب مائلة

خطوة 1.7

هذه هي مجموعة جميع خطوط التقارب.

خطوط التقارب الرأسية: $x = 0$

خطوط التقارب الأفقية: $y = \frac{64}{3}$

خطوط التقارب الرأسية: $x = 0$

خطوط التقارب الأفقية: $y = \frac{64}{3}$

خطوة 2

أوجِد النقطة في $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 + \frac{1}{1})}^{3} (\ln (1)))$

خطوة 2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اقسِم $1$ على $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 + 1)}^{3} \ln (1))$

خطوة 2.2.2

أضف $4$ و $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot (5^{3} \ln (1))$

خطوة 2.2.3

ارفع $5$ إلى القوة $3$ .

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot (125 \ln (1))$

خطوة 2.2.4

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot (125 \cdot 0)$

خطوة 2.2.5

اضرب $125$ في $0$ .

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot 0$

خطوة 2.2.6

اضرب $\frac{1}{3}$ في $0$ .

$f (1) = 0$

خطوة 2.2.7

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 2.3

حوّل $0$ إلى رقم عشري.

$y = 0$

خطوة 3

أوجِد النقطة في $x = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 + \frac{1}{2})}^{3} (\ln (2)))$

خطوة 3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لكتابة $4$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})}^{3} \ln (2))$

خطوة 3.2.2

اجمع $4$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2})}^{3} \ln (2))$

خطوة 3.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{4 \cdot 2 + 1}{2})}^{3} \ln (2))$

خطوة 3.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

اضرب $4$ في $2$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{8 + 1}{2})}^{3} \ln (2))$

خطوة 3.2.4.2

أضف $8$ و $1$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{9}{2})}^{3} \ln (2))$

خطوة 3.2.5

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{9}{2}$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{9^{3}}{2^{3}} \cdot \ln (2))$

خطوة 3.2.6

ارفع $9$ إلى القوة $3$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{729}{2^{3}} \cdot \ln (2))$

خطوة 3.2.7

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{729}{8} \cdot \ln (2))$

خطوة 3.2.8

بسّط $\frac{729}{8} \ln (2)$ بنقل $\frac{729}{8}$ داخل اللوغاريتم.

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot \ln (2^{\frac{729}{8}})$

خطوة 3.2.9

بسّط $\frac{1}{3} \ln (2^{\frac{729}{8}})$ بنقل $\frac{1}{3}$ داخل اللوغاريتم.

$f (2) = \ln ({(2^{\frac{729}{8}})}^{\frac{1}{3}})$

خطوة 3.2.10

اضرب الأُسس في ${(2^{\frac{729}{8}})}^{\frac{1}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.10.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2) = \ln (2^{\frac{729}{8} \cdot \frac{1}{3}})$

خطوة 3.2.10.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.10.2.1

أخرِج العامل $3$ من $729$ .

$f (2) = \ln (2^{\frac{3 (243)}{8} \cdot \frac{1}{3}})$

خطوة 3.2.10.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (2) = \ln (2^{\frac{3 \cdot 243}{8} \cdot \frac{1}{3}})$

خطوة 3.2.10.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (2) = \ln (2^{\frac{243}{8}})$

خطوة 3.2.11

الإجابة النهائية هي $\ln (2^{\frac{243}{8}})$ .

$\ln (2^{\frac{243}{8}})$

خطوة 3.3

حوّل $\ln (2^{\frac{243}{8}})$ إلى رقم عشري.

$y = 21.0543456$

خطوة 4

أوجِد النقطة في $x = 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 + \frac{1}{3})}^{3} (\ln (3)))$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

لكتابة $4$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3})}^{3} \ln (3))$

خطوة 4.2.2

اجمع $4$ و $\frac{3}{3}$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3})}^{3} \ln (3))$

خطوة 4.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{4 \cdot 3 + 1}{3})}^{3} \ln (3))$

خطوة 4.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

اضرب $4$ في $3$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{12 + 1}{3})}^{3} \ln (3))$

خطوة 4.2.4.2

أضف $12$ و $1$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{13}{3})}^{3} \ln (3))$

خطوة 4.2.5

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{13}{3}$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{13^{3}}{3^{3}} \cdot \ln (3))$

خطوة 4.2.6

ارفع $13$ إلى القوة $3$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{2197}{3^{3}} \cdot \ln (3))$

خطوة 4.2.7

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{2197}{27} \cdot \ln (3))$

خطوة 4.2.8

بسّط $\frac{2197}{27} \ln (3)$ بنقل $\frac{2197}{27}$ داخل اللوغاريتم.

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot \ln (3^{\frac{2197}{27}})$

خطوة 4.2.9

بسّط $\frac{1}{3} \ln (3^{\frac{2197}{27}})$ بنقل $\frac{1}{3}$ داخل اللوغاريتم.

$f (3) = \ln ({(3^{\frac{2197}{27}})}^{\frac{1}{3}})$

خطوة 4.2.10

اضرب الأُسس في ${(3^{\frac{2197}{27}})}^{\frac{1}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.10.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (3) = \ln (3^{\frac{2197}{27} \cdot \frac{1}{3}})$

خطوة 4.2.10.2

اضرب $\frac{2197}{27} \cdot \frac{1}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.10.2.1

اضرب $\frac{2197}{27}$ في $\frac{1}{3}$ .

$f (3) = \ln (3^{\frac{2197}{27 \cdot 3}})$

خطوة 4.2.10.2.2

اضرب $27$ في $3$ .

$f (3) = \ln (3^{\frac{2197}{81}})$

خطوة 4.2.11

الإجابة النهائية هي $\ln (3^{\frac{2197}{81}})$ .

$\ln (3^{\frac{2197}{81}})$

خطوة 4.3

حوّل $\ln (3^{\frac{2197}{81}})$ إلى رقم عشري.

$y = 29.79816294$

خطوة 5

يمكن تمثيل دالة اللوغاريتم بيانيًا باستخدام خط التقارب الرأسي عند $x = 0$ والنقاط $(1, 0), (2, 21.0543456), (3, 29.79816294)$ .

خط التقارب الرأسي: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 21.054 \\ 3 & 29.798 \end{array}$

خطوة 6