حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{3}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{3})$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = \frac{x - 5}{5 x + 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{x - 5}{5 x + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{x - 5}{5 x + 1}]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 5}{5 x + 1}]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x - 5}{5 x + 1}$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 5}{5 x + 1}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x - 5$ و $g (x) = 5 x + 1$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{(5 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 5] - (x - 5) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{(5 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x - 5) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{(5 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x - 5) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.3.3

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{(5 x + 1) (1 + 0) - (x - 5) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{(5 x + 1) \cdot 1 - (x - 5) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.3.4.2

اضرب $5 x + 1$ في $1$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{5 x + 1 - (x - 5) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.3.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{5 x + 1 - (x - 5) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.3.6

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{5 x + 1 - (x - 5) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{5 x + 1 - (x - 5) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.3.8

اضرب $5$ في $1$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{5 x + 1 - (x - 5) (5 + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.3.9

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{5 x + 1 - (x - 5) (5 + 0)}{{(5 x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.3.10

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.10.1

أضف $5$ و $0$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{5 x + 1 - (x - 5) \cdot 5}{{(5 x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.3.10.2

اضرب $5$ في $- 1$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{5 x + 1 - 5 (x - 5)}{{(5 x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.3.10.3

اجمع $\frac{5 x + 1 - 5 (x - 5)}{{(5 x + 1)}^{2}}$ و $3$ .

$\frac{(5 x + 1 - 5 (x - 5)) \cdot 3}{{(5 x + 1)}^{2}} {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2}$

خطوة 3.3.10.4

انقُل $3$ إلى يسار $5 x + 1 - 5 (x - 5)$ .

$\frac{3 \cdot (5 x + 1 - 5 (x - 5))}{{(5 x + 1)}^{2}} {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2}$

خطوة 3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{x - 5}{5 x + 1}$ .

$\frac{3 (5 x + 1 - 5 (x - 5))}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 (5 x + 1 - 5 x - 5 \cdot - 5)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 (5 x) + 3 \cdot 1 + 3 (- 5 x) + 3 (- 5 \cdot - 5)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.1

اضرب $5$ في $3$ .

$\frac{15 x + 3 \cdot 1 + 3 (- 5 x) + 3 (- 5 \cdot - 5)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.4.2

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{15 x + 3 + 3 (- 5 x) + 3 (- 5 \cdot - 5)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.4.3

اضرب $- 5$ في $3$ .

$\frac{15 x + 3 - 15 x + 3 (- 5 \cdot - 5)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.4.4

اضرب $- 5$ في $- 5$ .

$\frac{15 x + 3 - 15 x + 3 \cdot 25}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.4.5

اضرب $3$ في $25$ .

$\frac{15 x + 3 - 15 x + 75}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.4.6

اطرح $15 x$ من $15 x$ .

$\frac{0 + 3 + 75}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.4.7

أضف $0$ و $3$ .

$\frac{3 + 75}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.4.8

أضف $3$ و $75$ .

$\frac{78}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.4.9

اضرب $\frac{78}{{(5 x + 1)}^{2}}$ في $\frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{78 {(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2} {(5 x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.4.10

اضرب ${(5 x + 1)}^{2}$ في ${(5 x + 1)}^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.10.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{78 {(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2 + 2}}$

خطوة 3.4.4.10.2

أضف $2$ و $2$ .

$\frac{78 {(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{4}}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = \frac{78 {(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{4}}$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{78 {(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{4}}$