حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \ln^{12} (x) + \ln (x^{12})$

خطوة 1

احذِف الأقواس.

$y = \ln^{12} (x) + \ln (x^{12})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln^{12} (x) + \ln (x^{12}))$

خطوة 3

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 4

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\ln^{12} (x) + \ln (x^{12})$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\ln^{12} (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln^{12} (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

خطوة 4.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\ln^{12} (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{12}$ و $g (x) = \ln (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{12}] \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

خطوة 4.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 12$ .

$12 {u_{1}}^{11} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

خطوة 4.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\ln (x)$ .

$12 \ln^{11} (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

خطوة 4.2.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$12 \ln^{11} (x) \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

خطوة 4.2.3

اجمع $\frac{1}{x}$ و $12$ .

$\frac{12}{x} \ln^{11} (x) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

خطوة 4.2.4

اجمع $\frac{12}{x}$ و $\ln^{11} (x)$ .

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\ln (x^{12})]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x^{12}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x^{12}$ .

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{12}]$

خطوة 4.3.1.2

مشتق $\ln (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{12}]$

خطوة 4.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x^{12}$ .

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{1}{x^{12}} \frac{d}{d x} [x^{12}]$

خطوة 4.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 12$ .

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{1}{x^{12}} (12 x^{11})$

خطوة 4.3.3

اجمع $12$ و $\frac{1}{x^{12}}$ .

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{12}{x^{12}} x^{11}$

خطوة 4.3.4

اجمع $\frac{12}{x^{12}}$ و $x^{11}$ .

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{12 x^{11}}{x^{12}}$

خطوة 4.3.5

احذِف العامل المشترك لـ $x^{11}$ و $x^{12}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

أخرِج العامل $x^{11}$ من $12 x^{11}$ .

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{x^{11} \cdot 12}{x^{12}}$

خطوة 4.3.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.2.1

أخرِج العامل $x^{11}$ من $x^{12}$ .

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{x^{11} \cdot 12}{x^{11} x}$

خطوة 4.3.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{x^{11} \cdot 12}{x^{11} x}$

خطوة 4.3.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{12}{x}$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = \frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{12}{x}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{12 \ln^{11} (x)}{x} + \frac{12}{x}$