حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{1}{\sqrt{x + \sqrt[3]{x}}}$

خطوة 1

أعِد كتابة الطرف الأيمن بأُسس كسرية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{1}{\sqrt{x + x^{\frac{1}{3}}}}$

خطوة 1.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x + x^{\frac{1}{3}}}$ في صورة ${(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{1}{{(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 3

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 4

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أعِد كتابة $\frac{1}{{(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}}$ بالصيغة ${({(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

خطوة 4.1.2

اضرب الأُسس في ${({(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

خطوة 4.1.2.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{- 1}{2}}]$

خطوة 4.1.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{1}{3}})}^{- \frac{1}{2}}]$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ و $g (x) = x + x^{\frac{1}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 4.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + x^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 4.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 4.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 4.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 4.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 4.6.2

اطرح $2$ من $- 1$ .

$- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 4.7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 4.7.2

اجمع ${(x + x^{\frac{1}{3}})}^{- \frac{3}{2}}$ و $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{{(x + x^{\frac{1}{3}})}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 4.7.3

انقُل ${(x + x^{\frac{1}{3}})}^{- \frac{3}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 4.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + x^{\frac{1}{3}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

خطوة 4.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

خطوة 4.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

خطوة 4.11

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

خطوة 4.12

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

خطوة 4.13

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

خطوة 4.14

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.14.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

خطوة 4.14.2

اطرح $3$ من $1$ .

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

خطوة 4.15

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

خطوة 4.16

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

خطوة 4.17

انقُل $x^{- \frac{2}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

خطوة 4.18

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.18.1

أعِد ترتيب عوامل $- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$ .

$- (1 + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}) \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 4.18.2

طبّق خاصية التوزيع.

$(- 1 \cdot 1 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}) \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 4.18.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$(- 1 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}) \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 4.18.4

اضرب $- 1 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ في $\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 1 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 4.18.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.18.5.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.18.5.1.1

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 4.18.5.1.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{- 1 (1) - (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 4.18.5.1.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (1) - (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$ .

$\frac{- 1 (1 + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 4.18.5.1.4

أعِد كتابة $- 1 (1 + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$ بالصيغة $- (1 + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$ .

$\frac{- (1 + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 4.18.5.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{- (\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 4.18.5.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} + 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 4.18.6

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} + 1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 4.18.7

اضرب $- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} + 1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.18.7.1

اضرب $\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$ في $\frac{3 x^{\frac{2}{3}} + 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} + 1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}} (3 x^{\frac{2}{3}})}$

خطوة 4.18.7.2

اضرب $3$ في $2$ .

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} + 1}{6 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}} x^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = - \frac{3 x^{\frac{2}{3}} + 1}{6 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}} x^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{\frac{2}{3}} + 1}{6 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}} x^{\frac{2}{3}}}$