حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$q = \cos (\frac{t}{\sqrt{t + 5}})$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{t + 5}$ في صورة ${(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$q = \cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d t} (q) = \frac{d}{d t} (\cos (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}))$

خطوة 3

مشتق $q$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $q'$ .

$q'$

خطوة 4

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = \cos (t)$ و $g (t) = \frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 4.1.2

مشتق $\cos (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 4.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ هو $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ حيث $f (t) = t$ و $g (t) = {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(t + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 4.3

اضرب الأُسس في ${({(t + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 4.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 4.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t + 5)}^{1}}$

خطوة 4.4

بسّط.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{t + 5}$

خطوة 4.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{t + 5}$

خطوة 4.5.2

اضرب ${(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ في $1$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t \frac{d}{d t} [{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}]}{t + 5}$

خطوة 4.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ و $g (t) = t + 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $t + 5$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

خطوة 4.6.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

خطوة 4.6.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $t + 5$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

خطوة 4.7

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

خطوة 4.8

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

خطوة 4.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

خطوة 4.10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

خطوة 4.10.2

اطرح $2$ من $1$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

خطوة 4.11

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.11.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

خطوة 4.11.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(t + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{{(t + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

خطوة 4.11.3

انقُل ${(t + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t + 5])}{t + 5}$

خطوة 4.11.4

اجمع $\frac{1}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ و $t$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t + 5]}{t + 5}$

خطوة 4.12

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t + 5$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [5]$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [5])}{t + 5}$

خطوة 4.13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d t} [5])}{t + 5}$

خطوة 4.14

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)}{t + 5}$

خطوة 4.15

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.15.1

أضف $1$ و $0$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{t + 5}$

خطوة 4.15.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

خطوة 4.16

لكتابة ${(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

خطوة 4.17

اجمع ${(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ و $\frac{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

خطوة 4.18

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

خطوة 4.19

اضرب ${(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ في ${(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.19.1

انقُل ${(t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}} {(t + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

خطوة 4.19.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

خطوة 4.19.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 5)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

خطوة 4.19.4

أضف $1$ و $1$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 5)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

خطوة 4.19.5

اقسِم $2$ على $2$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{{(t + 5)}^{1} \cdot 2 - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

خطوة 4.20

بسّط ${(t + 5)}^{1} \cdot 2$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{(t + 5) \cdot 2 - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

خطوة 4.21

انقُل $2$ إلى يسار $t + 5$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{\frac{2 \cdot (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$

خطوة 4.22

أعِد كتابة $\frac{\frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}}{t + 5}$ في صورة حاصل ضرب.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) (\frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{t + 5})$

خطوة 4.23

اضرب $\frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ في $\frac{1}{t + 5}$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{1}{2}} (t + 5)}$

خطوة 4.24

ارفع $t + 5$ إلى القوة $1$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 5) - t}{2 ({(t + 5)}^{1} {(t + 5)}^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 4.25

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

خطوة 4.26

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.26.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

خطوة 4.26.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

خطوة 4.26.3

أضف $2$ و $1$ .

$- \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 4.27

اجمع $\frac{2 (t + 5) - t}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$ و $\sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$- \frac{(2 (t + 5) - t) \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 4.28

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.28.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{(2 t + 2 \cdot 5 - t) \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 4.28.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.28.2.1

اضرب $2$ في $5$ .

$- \frac{(2 t + 10 - t) \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 4.28.2.2

اطرح $t$ من $2 t$ .

$- \frac{(t + 10) \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 4.28.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{t \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) + 10 \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 4.28.3

أخرِج العامل $\sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ من $t \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) + 10 \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.28.3.1

أخرِج العامل $\sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ من $t \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$- \frac{\sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) t + 10 \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 4.28.3.2

أخرِج العامل $\sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ من $10 \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$- \frac{\sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) t + \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 10}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 4.28.3.3

أخرِج العامل $\sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}})$ من $\sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) t + \sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 10$ .

$- \frac{\sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 10)}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$q' = - \frac{\sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 10)}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 6

استبدِل $q'$ بـ $\frac{d q}{d t}$ .

$\frac{d q}{d t} = - \frac{\sin (\frac{t}{{(t + 5)}^{\frac{1}{2}}}) (t + 10)}{2 {(t + 5)}^{\frac{3}{2}}}$