حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x}{x^{2} + 49}$

خطوة 1

اكتب $\frac{x}{x^{2} + 49}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 49}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x^{2} + 49$ .

$\frac{(x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 49) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.2

اضرب $x^{2} + 49$ في $1$ .

$\frac{x^{2} + 49 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 49]}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 49$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$\frac{x^{2} + 49 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49])}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 49 - x (2 x + \frac{d}{d x} [49])}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.5

بما أن $49$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $49$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x^{2} + 49 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.6.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{x^{2} + 49 - x (2 x)}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

خطوة 2.1.2.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 49 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

خطوة 2.1.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{2} + 49 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

خطوة 2.1.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{2} + 49 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

خطوة 2.1.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{2} + 49 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

خطوة 2.1.6

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{x^{2} + 49 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

خطوة 2.1.7

اطرح $2 x^{2}$ من $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 49}{{(x^{2} + 49)}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 49] - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{2}]}{{({(x^{2} + 49)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

اضرب الأُسس في ${({(x^{2} + 49)}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 49] - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{2}]}{{(x^{2} + 49)}^{2 \cdot 2}}$

خطوة 2.2.2.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 49] - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{2}]}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- x^{2} + 49$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]) - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{2}]}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]) - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{2}]}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} [49]) - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{2}]}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.2.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} [49]) - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{2}]}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.2.6

بما أن $49$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $49$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{2}]}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.2.7

أضف $- 2 x$ و $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 49)}^{2}]}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x^{2} + 49$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 49$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 49) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 49])}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 49) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 49])}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 49$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 49) (2 (x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [x^{2} + 49])}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 49) ((x^{2} + 49) \frac{d}{d x} [x^{2} + 49])}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.4.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 49$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 49) ((x^{2} + 49) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [49]))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 49) ((x^{2} + 49) (2 x + \frac{d}{d x} [49]))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.4.4

بما أن $49$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $49$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 49) ((x^{2} + 49) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.4.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.5.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 49) ((x^{2} + 49) (2 x))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.4.5.2

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2} + 49$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 49) (2 \cdot (x^{2} + 49) x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.4.5.3

اضرب $2$ في $- 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} + 49) ((x^{2} + 49) x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) ((x^{2} + 49) x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{{(x^{2} + 49)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{- 2 {(x^{2} + 49)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.2

أعِد كتابة ${(x^{2} + 49)}^{2}$ بالصيغة $(x^{2} + 49) (x^{2} + 49)$ .

$\frac{- 2 ((x^{2} + 49) (x^{2} + 49)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.3

وسّع $(x^{2} + 49) (x^{2} + 49)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 2 (x^{2} (x^{2} + 49) + 49 (x^{2} + 49)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 49 + 49 (x^{2} + 49)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 49 + 49 x^{2} + 49 \cdot 49) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.4

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.4.1.1

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.4.1.1.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 49 + 49 x^{2} + 49 \cdot 49) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.4.1.1.2

أضف $2$ و $2$ .

$\frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 49 + 49 x^{2} + 49 \cdot 49) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.4.1.2

انقُل $49$ إلى يسار $x^{2}$ .

$\frac{- 2 (x^{4} + 49 \cdot x^{2} + 49 x^{2} + 49 \cdot 49) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.4.1.3

اضرب $49$ في $49$ .

$\frac{- 2 (x^{4} + 49 x^{2} + 49 x^{2} + 2401) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.4.2

أضف $49 x^{2}$ و $49 x^{2}$ .

$\frac{- 2 (x^{4} + 98 x^{2} + 2401) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.5

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(- 2 x^{4} - 2 (98 x^{2}) - 2 \cdot 2401) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.6.1

اضرب $98$ في $- 2$ .

$\frac{(- 2 x^{4} - 196 x^{2} - 2 \cdot 2401) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.6.2

اضرب $- 2$ في $2401$ .

$\frac{(- 2 x^{4} - 196 x^{2} - 4802) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.7

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 2 x^{4} x - 196 x^{2} x - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.8.1

اضرب $x^{4}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.8.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 196 x^{2} x - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.8.1.2

اضرب $x$ في $x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.8.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{4}) - 196 x^{2} x - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.8.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- 2 x^{1 + 4} - 196 x^{2} x - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.8.1.3

أضف $1$ و $4$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{2} x - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.8.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.8.2.1

انقُل $x$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 196 (x \cdot x^{2}) - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.8.2.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.8.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 196 (x^{1} x^{2}) - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.8.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{1 + 2} - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.8.2.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.9

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.9.1

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + (4 x^{2} - 4 \cdot 49) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.9.2

اضرب $- 4$ في $49$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + (4 x^{2} - 196) (x^{2} x + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.10

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.10.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.10.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + (4 x^{2} - 196) (x^{2} x^{1} + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.10.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + (4 x^{2} - 196) (x^{2 + 1} + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.10.2

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + (4 x^{2} - 196) (x^{3} + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.11

وسّع $(4 x^{2} - 196) (x^{3} + 49 x)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{2} (x^{3} + 49 x) - 196 (x^{3} + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.11.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (49 x) - 196 (x^{3} + 49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.11.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (49 x) - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.12

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.12.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.12.1.1

اضرب $x^{2}$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.12.1.1.1

انقُل $x^{3}$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} (49 x) - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.12.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} (49 x) - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.12.1.1.3

أضف $3$ و $2$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} (49 x) - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.12.1.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 49 x^{2} x - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.12.1.3

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.12.1.3.1

انقُل $x$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 49 (x \cdot x^{2}) - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.12.1.3.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.3.1.12.1.3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 49 (x^{1} x^{2}) - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.12.1.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 49 x^{1 + 2} - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.12.1.3.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 49 x^{3} - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.12.1.4

اضرب $4$ في $49$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 196 x^{3} - 196 x^{3} - 196 (49 x)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.12.1.5

اضرب $49$ في $- 196$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 196 x^{3} - 196 x^{3} - 9604 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.12.2

اطرح $196 x^{3}$ من $196 x^{3}$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} + 0 - 9604 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.1.12.3

أضف $4 x^{5}$ و $0$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x + 4 x^{5} - 9604 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.2

أضف $- 2 x^{5}$ و $4 x^{5}$ .

$\frac{2 x^{5} - 196 x^{3} - 4802 x - 9604 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3.3

اطرح $9604 x$ من $- 4802 x$ .

$\frac{2 x^{5} - 196 x^{3} - 14406 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.4.1

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x^{5} - 196 x^{3} - 14406 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.4.1.1

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x^{5}$ .

$\frac{2 x (x^{4}) - 196 x^{3} - 14406 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.4.1.2

أخرِج العامل $2 x$ من $- 196 x^{3}$ .

$\frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 98 x^{2}) - 14406 x}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.4.1.3

أخرِج العامل $2 x$ من $- 14406 x$ .

$\frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 98 x^{2}) + 2 x (- 7203)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.4.1.4

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x (x^{4}) + 2 x (- 98 x^{2})$ .

$\frac{2 x (x^{4} - 98 x^{2}) + 2 x (- 7203)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.4.1.5

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x (x^{4} - 98 x^{2}) + 2 x (- 7203)$ .

$\frac{2 x (x^{4} - 98 x^{2} - 7203)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.4.2

أعِد كتابة $x^{4}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 98 x^{2} - 7203)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.4.3

لنفترض أن $u = x^{2}$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x^{2}$ .

$\frac{2 x (u^{2} - 98 u - 7203)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.4.4

حلّل $u^{2} - 98 u - 7203$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.4.4.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 7203$ ومجموعهما $- 98$ .

$- 147, 49$

خطوة 2.2.5.4.4.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$\frac{2 x ((u - 147) (u + 49))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.4.5

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 147) (x^{2} + 49)}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.5

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2} + 49$ و ${(x^{2} + 49)}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.5.1

أخرِج العامل $x^{2} + 49$ من $2 x (x^{2} - 147) (x^{2} + 49)$ .

$\frac{(x^{2} + 49) (2 x (x^{2} - 147))}{{(x^{2} + 49)}^{4}}$

خطوة 2.2.5.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.5.2.1

أخرِج العامل $x^{2} + 49$ من ${(x^{2} + 49)}^{4}$ .

$\frac{(x^{2} + 49) (2 x (x^{2} - 147))}{(x^{2} + 49) {(x^{2} + 49)}^{3}}$

خطوة 2.2.5.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(x^{2} + 49) (2 x (x^{2} - 147))}{(x^{2} + 49) {(x^{2} + 49)}^{3}}$

خطوة 2.2.5.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{3}}$

خطوة 2.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2 x (x^{2} - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{3}}$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{3}}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $\frac{2 x (x^{2} - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{3}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 147)}{{(x^{2} + 49)}^{3}} = 0$

خطوة 3.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$2 x (x^{2} - 147) = 0$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 147 = 0$

خطوة 3.3.2

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 3.3.3

عيّن قيمة العبارة $x^{2} - 147$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

عيّن قيمة $x^{2} - 147$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} - 147 = 0$

خطوة 3.3.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} - 147 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.1

أضف $147$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{2} = 147$

خطوة 3.3.3.2.2

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{147}$

خطوة 3.3.3.2.3

بسّط $\pm \sqrt{147}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.3.1

أعِد كتابة $147$ بالصيغة $7^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.3.1.1

أخرِج العامل $49$ من $147$ .

$x = \pm \sqrt{49 (3)}$

خطوة 3.3.3.2.3.1.2

أعِد كتابة $49$ بالصيغة $7^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{7^{2} \cdot 3}$

خطوة 3.3.3.2.3.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \pm 7 \sqrt{3}$

خطوة 3.3.3.2.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 7 \sqrt{3}$

خطوة 3.3.3.2.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 7 \sqrt{3}$

خطوة 3.3.3.2.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 7 \sqrt{3}, - 7 \sqrt{3}$

خطوة 3.3.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $2 x (x^{2} - 147) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 7 \sqrt{3}, - 7 \sqrt{3}$

خطوة 4

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $0$ في $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 49}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = \frac{0}{{(0)}^{2} + 49}$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = \frac{0}{0 + 49}$

خطوة 4.1.2.1.2

أضف $0$ و $49$ .

$f (0) = \frac{0}{49}$

خطوة 4.1.2.2

اقسِم $0$ على $49$ .

$f (0) = 0$

خطوة 4.1.2.3

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 4.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $0$ في $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 49}$ هي $(0, 0)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(0, 0)$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $7 \sqrt{3}$ في $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 49}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $7 \sqrt{3}$ في العبارة.

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{{(7 \sqrt{3})}^{2} + 49}$

خطوة 4.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $7 \sqrt{3}$ .

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{7^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 49}$

خطوة 4.3.2.1.2

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{49 {\sqrt{3}}^{2} + 49}$

خطوة 4.3.2.1.3

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{49 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 49}$

خطوة 4.3.2.1.3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 49}$

خطوة 4.3.2.1.3.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 49}$

خطوة 4.3.2.1.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 49}$

خطوة 4.3.2.1.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3 + 49}$

خطوة 4.3.2.1.3.5

احسِب قيمة الأُس.

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3 + 49}$

خطوة 4.3.2.1.4

اضرب $49$ في $3$ .

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{147 + 49}$

خطوة 4.3.2.1.5

أضف $147$ و $49$ .

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{196}$

خطوة 4.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $7$ و $196$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

أخرِج العامل $7$ من $7 \sqrt{3}$ .

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 (\sqrt{3})}{196}$

خطوة 4.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $7$ من $196$ .

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{7 \cdot 28}$

خطوة 4.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{7 \sqrt{3}}{7 \cdot 28}$

خطوة 4.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (7 \sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{28}$

خطوة 4.3.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{\sqrt{3}}{28}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{28}$

خطوة 4.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $7 \sqrt{3}$ في $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 49}$ هي $(7 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{28})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(7 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{28})$

خطوة 4.5

عوّض بقيمة $- 7 \sqrt{3}$ في $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 49}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 7 \sqrt{3}$ في العبارة.

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{{(- 7 \sqrt{3})}^{2} + 49}$

خطوة 4.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- 7 \sqrt{3}$ .

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{{(- 7)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 49}$

خطوة 4.5.2.1.2

ارفع $- 7$ إلى القوة $2$ .

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{49 {\sqrt{3}}^{2} + 49}$

خطوة 4.5.2.1.3

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{49 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 49}$

خطوة 4.5.2.1.3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 49}$

خطوة 4.5.2.1.3.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 49}$

خطوة 4.5.2.1.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 49}$

خطوة 4.5.2.1.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3 + 49}$

خطوة 4.5.2.1.3.5

احسِب قيمة الأُس.

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{49 \cdot 3 + 49}$

خطوة 4.5.2.1.4

اضرب $49$ في $3$ .

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{147 + 49}$

خطوة 4.5.2.1.5

أضف $147$ و $49$ .

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{196}$

خطوة 4.5.2.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 7$ و $196$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.2.1.1

أخرِج العامل $7$ من $- 7 \sqrt{3}$ .

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{7 (- \sqrt{3})}{196}$

خطوة 4.5.2.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.2.1.2.1

أخرِج العامل $7$ من $196$ .

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{7 (- \sqrt{3})}{7 (28)}$

خطوة 4.5.2.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{7 (- \sqrt{3})}{7 \cdot 28}$

خطوة 4.5.2.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (- 7 \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{28}$

خطوة 4.5.2.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- 7 \sqrt{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{28}$

خطوة 4.5.2.3

الإجابة النهائية هي $- \frac{\sqrt{3}}{28}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{28}$

خطوة 4.6

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- 7 \sqrt{3}$ في $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 49}$ هي $(- 7 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{28})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- 7 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{28})$

خطوة 4.7

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(0, 0), (7 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{28}), (- 7 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{28})$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - 7 \sqrt{3}) \cup (- 7 \sqrt{3}, 0) \cup (0, 7 \sqrt{3}) \cup (7 \sqrt{3}, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 7 \sqrt{3})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 12.22435565$ في العبارة.

$f'' (- 12.22435565) = \frac{2 (- 12.22435565) ({(- 12.22435565)}^{2} - 147)}{{({(- 12.22435565)}^{2} + 49)}^{3}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

اضرب $2$ في $- 12.22435565$ .

$f'' (- 12.22435565) = \frac{- 24.4487113 ({(- 12.22435565)}^{2} - 147)}{{({(- 12.22435565)}^{2} + 49)}^{3}}$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $- 24.4487113$ في ${(- 12.22435565)}^{2} - 147$ .

$f'' (- 12.22435565) = \frac{- 59.52946133}{{({(- 12.22435565)}^{2} + 49)}^{3}}$

خطوة 6.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

ارفع $- 12.22435565$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 12.22435565) = \frac{- 59.52946133}{{(149.43487113 + 49)}^{3}}$

خطوة 6.2.2.2

أضف $149.43487113$ و $49$ .

$f'' (- 12.22435565) = \frac{- 59.52946133}{{198.43487113}^{3}}$

خطوة 6.2.2.3

ارفع $198.43487113$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 12.22435565) = \frac{- 59.52946133}{7813650.47871413}$

خطوة 6.2.3

اقسِم $- 59.52946133$ على $7813650.47871413$ .

$f'' (- 12.22435565) = - 0.00000761$

خطوة 6.2.4

الإجابة النهائية هي $- 0.00000761$ .

$- 0.00000761$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $- 12.22435565$ يساوي $- 7.61864911 E - 6$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, - 7 \sqrt{3})$

تناقص خلال $(- \infty, - 7 \sqrt{3})$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- 7 \sqrt{3}, 0)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 6.06217782$ في العبارة.

$f'' (- 6.06217782) = \frac{2 (- 6.06217782) ({(- 6.06217782)}^{2} - 147)}{{({(- 6.06217782)}^{2} + 49)}^{3}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

اضرب $2$ في $- 6.06217782$ .

$f'' (- 6.06217782) = \frac{- 12.12435565 ({(- 6.06217782)}^{2} - 147)}{{({(- 6.06217782)}^{2} + 49)}^{3}}$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $- 12.12435565$ في ${(- 6.06217782)}^{2} - 147$ .

$f'' (- 6.06217782) = \frac{1336.71021074}{{({(- 6.06217782)}^{2} + 49)}^{3}}$

خطوة 7.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

ارفع $- 6.06217782$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 6.06217782) = \frac{1336.71021074}{{(36.75 + 49)}^{3}}$

خطوة 7.2.2.2

أضف $36.75$ و $49$ .

$f'' (- 6.06217782) = \frac{1336.71021074}{{85.75}^{3}}$

خطوة 7.2.2.3

ارفع $85.75$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 6.06217782) = \frac{1336.71021074}{630525.109375}$

خطوة 7.2.3

اقسِم $1336.71021074$ على $630525.109375$ .

$f'' (- 6.06217782) = 0.00211999$

خطوة 7.2.4

الإجابة النهائية هي $0.00211999$ .

$0.00211999$

خطوة 7.3

في $- 6.06217782$ ، المشتق الثاني هو $0.00211999$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- 7 \sqrt{3}, 0)$ .

تزايد خلال $(- 7 \sqrt{3}, 0)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(0, 7 \sqrt{3})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $6.06217782$ في العبارة.

$f'' (6.06217782) = \frac{2 (6.06217782) ({(6.06217782)}^{2} - 147)}{{({(6.06217782)}^{2} + 49)}^{3}}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

اضرب $2$ في $6.06217782$ .

$f'' (6.06217782) = \frac{12.12435565 ({6.06217782}^{2} - 147)}{{({6.06217782}^{2} + 49)}^{3}}$

خطوة 8.2.1.2

اضرب $12.12435565$ في ${6.06217782}^{2} - 147$ .

$f'' (6.06217782) = \frac{- 1336.71021074}{{({6.06217782}^{2} + 49)}^{3}}$

خطوة 8.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

ارفع $6.06217782$ إلى القوة $2$ .

$f'' (6.06217782) = \frac{- 1336.71021074}{{(36.75 + 49)}^{3}}$

خطوة 8.2.2.2

أضف $36.75$ و $49$ .

$f'' (6.06217782) = \frac{- 1336.71021074}{{85.75}^{3}}$

خطوة 8.2.2.3

ارفع $85.75$ إلى القوة $3$ .

$f'' (6.06217782) = \frac{- 1336.71021074}{630525.109375}$

خطوة 8.2.3

اقسِم $- 1336.71021074$ على $630525.109375$ .

$f'' (6.06217782) = - 0.00211999$

خطوة 8.2.4

الإجابة النهائية هي $- 0.00211999$ .

$- 0.00211999$

خطوة 8.3

المشتق الثاني عند $6.06217782$ يساوي $- 0.00211999$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(0, 7 \sqrt{3})$

تناقص خلال $(0, 7 \sqrt{3})$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 9

عوّض بقيمة من الفترة $(7 \sqrt{3}, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $12.22435565$ في العبارة.

$f'' (12.22435565) = \frac{2 (12.22435565) ({(12.22435565)}^{2} - 147)}{{({(12.22435565)}^{2} + 49)}^{3}}$

خطوة 9.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1

اضرب $2$ في $12.22435565$ .

$f'' (12.22435565) = \frac{24.4487113 ({12.22435565}^{2} - 147)}{{({12.22435565}^{2} + 49)}^{3}}$

خطوة 9.2.1.2

اضرب $24.4487113$ في ${12.22435565}^{2} - 147$ .

$f'' (12.22435565) = \frac{59.52946133}{{({12.22435565}^{2} + 49)}^{3}}$

خطوة 9.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

ارفع $12.22435565$ إلى القوة $2$ .

$f'' (12.22435565) = \frac{59.52946133}{{(149.43487113 + 49)}^{3}}$

خطوة 9.2.2.2

أضف $149.43487113$ و $49$ .

$f'' (12.22435565) = \frac{59.52946133}{{198.43487113}^{3}}$

خطوة 9.2.2.3

ارفع $198.43487113$ إلى القوة $3$ .

$f'' (12.22435565) = \frac{59.52946133}{7813650.47871413}$

خطوة 9.2.3

اقسِم $59.52946133$ على $7813650.47871413$ .

$f'' (12.22435565) = 0.00000761$

خطوة 9.2.4

الإجابة النهائية هي $0.00000761$ .

$0.00000761$

خطوة 9.3

في $12.22435565$ ، المشتق الثاني هو $7.61864911 E - 6$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(7 \sqrt{3}, \infty)$ .

تزايد خلال $(7 \sqrt{3}, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 10

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقاط الانقلاب في هذه الحالة هي $(- 7 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{28}), (0, 0), (7 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{28})$ .

$(- 7 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{28}), (0, 0), (7 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{28})$

خطوة 11