حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sec^{2} (x) + \tan (x) - 3 = 0$

خطوة 1

استبدِل $\sec^{2} (x)$ بـ $1 + \tan^{2} (x)$ بناءً على المتطابقة $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(1 + \tan^{2} (x)) + \tan (x) - 3 = 0$

خطوة 2

اطرح $3$ من $1$ .

$\tan^{2} (x) + \tan (x) - 2 = 0$

خطوة 3

عوّض بقيمة $\tan (x)$ التي تساوي $u$ .

${(u)}^{2} + u - 2 = 0$

خطوة 4

حلّل $u^{2} + u - 2$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 2$ ومجموعهما $1$ .

$- 1, 2$

خطوة 4.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(u - 1) (u + 2) = 0$

خطوة 5

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$u - 1 = 0$

$u + 2 = 0$

خطوة 6

عيّن قيمة العبارة $u - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة $u - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$u - 1 = 0$

خطوة 6.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$u = 1$

خطوة 7

عيّن قيمة العبارة $u + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عيّن قيمة $u + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$u + 2 = 0$

خطوة 7.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$u = - 2$

خطوة 8

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(u - 1) (u + 2) = 0$ صحيحة.

$u = 1, - 2$

خطوة 9

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $\tan (x)$ .

$\tan (x) = 1, - 2$

خطوة 10

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\tan (x) = 1$

$\tan (x) = - 2$

خطوة 11

أوجِد قيمة $x$ في $\tan (x) = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$x = \arctan (1)$

خطوة 11.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (1)$ هي $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

خطوة 11.3

دالة المماس موجبة في الربعين الأول والثالث. لإيجاد الحل الثاني، أضِف زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = π + \frac{π}{4}$

خطوة 11.4

بسّط $π + \frac{π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

خطوة 11.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.2.1

اجمع $π$ و $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

خطوة 11.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

خطوة 11.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.3.1

انقُل $4$ إلى يسار $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

خطوة 11.4.3.2

أضف $4 π$ و $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

خطوة 11.5

أوجِد فترة $\tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 11.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 1 |}$

خطوة 11.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{π}{1}$

خطوة 11.5.4

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 11.6

فترة دالة $\tan (x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 12

أوجِد قيمة $x$ في $\tan (x) = - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$x = \arctan (- 2)$

خطوة 12.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

احسِب قيمة $\arctan (- 2)$ .

$x = - 1.10714871$

خطوة 12.3

دالة المماس سالبة في الربعين الثاني والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = - 1.10714871 - (3.14159265)$

خطوة 12.4

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.4.1

أضف $2 π$ إلى $- 1.10714871 - (3.14159265)$ .

$x = - 1.10714871 - (3.14159265) + 2 π$

خطوة 12.4.2

الزاوية الناتجة لـ $2.03444393$ موجبة ومشتركة النهاية مع $- 1.10714871 - (3.14159265)$ .

$x = 2.03444393$

خطوة 12.5

أوجِد فترة $\tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 12.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 1 |}$

خطوة 12.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{π}{1}$

خطوة 12.5.4

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 12.6

اجمع $π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.6.1

اجمع $π$ مع $- 1.10714871$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- 1.10714871 + π$

خطوة 12.6.2

استبدِل بتقريب الكسور العشرية.

$3.14159265 - 1.10714871$

خطوة 12.6.3

اطرح $1.10714871$ من $3.14159265$ .

$2.03444393$

خطوة 12.6.4

اسرِد الزوايا الجديدة.

$x = 2.03444393$

خطوة 12.7

فترة دالة $\tan (x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 13

اسرِد جميع الحلول.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 14

وحّد الحلول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

ادمج $\frac{π}{4} + π n$ و $\frac{5 π}{4} + π n$ في $\frac{π}{4} + π n$ .

$x = \frac{π}{4} + π n, 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 14.2

ادمج $2.03444393 + π n$ و $2.03444393 + π n$ في $2.03444393 + π n$ .

$x = \frac{π}{4} + π n, 2.03444393 + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$