حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (2 x) \cos (2 x) = 0$

خطوة 1

استخدِم متطابقة ضعف الزاوية لتحويل $\cos (2 x)$ إلى $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (2 x) (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

خطوة 2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط $2 \sin (x) \cos (x) - \sin (2 x) (1 - 2 \sin^{2} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$2 \sin (x) \cos (x) - (2 \sin (x) \cos (x)) (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

خطوة 2.1.1.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 (\sin (x) \cos (x)) (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

خطوة 2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 - 2 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

خطوة 2.1.1.4

اضرب $- 2$ في $1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

خطوة 2.1.1.5

اضرب $\sin (x)$ في $\sin^{2} (x)$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.5.1

انقُل $\sin^{2} (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) - 2 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cos (x) \cdot - 2 = 0$

خطوة 2.1.1.5.2

اضرب $\sin^{2} (x)$ في $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.5.2.1

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) - 2 (\sin^{2} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x) \cdot - 2 = 0$

خطوة 2.1.1.5.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) - 2 {\sin (x)}^{2 + 1} \cos (x) \cdot - 2 = 0$

خطوة 2.1.1.5.3

أضف $2$ و $1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin^{3} (x) \cos (x) \cdot - 2 = 0$

خطوة 2.1.1.6

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

خطوة 2.1.2

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

اطرح $2 \sin (x) \cos (x)$ من $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$0 + 4 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

خطوة 2.1.2.2

أضف $0$ و $4 \sin^{3} (x) \cos (x)$ .

$4 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

خطوة 3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\sin^{3} (x) = 0$

$\cos (x) = 0$

خطوة 3.2

عيّن قيمة العبارة $\sin^{3} (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

عيّن قيمة $\sin^{3} (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\sin^{3} (x) = 0$

خطوة 3.2.2

أوجِد قيمة $x$ في $\sin^{3} (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \sqrt[3]{0}$

خطوة 3.2.2.2

بسّط $\sqrt[3]{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{3}$ .

$\sin (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

خطوة 3.2.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أنها أعداد حقيقية.

$\sin (x) = 0$

خطوة 3.2.2.3

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (0)$

خطوة 3.2.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (0)$ هي $0$ .

$x = 0$

خطوة 3.2.2.5

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x = π - 0$

خطوة 3.2.2.6

اطرح $0$ من $π$ .

$x = π$

خطوة 3.2.2.7

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.2.2.7.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 3.2.2.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 3.2.2.7.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 3.2.2.8

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3.3

عيّن قيمة العبارة $\cos (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

عيّن قيمة $\cos (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\cos (x) = 0$

خطوة 3.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (0)$

خطوة 3.3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (0)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

خطوة 3.3.2.3

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

خطوة 3.3.2.4

بسّط $2 π - \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.4.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 3.3.2.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.4.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 3.3.2.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 3.3.2.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.4.3.1

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

خطوة 3.3.2.4.3.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

خطوة 3.3.2.5

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.3.2.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 3.3.2.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 3.3.2.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 3.3.2.6

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $4 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$ صحيحة.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4

وحّد الإجابات.

$x = \frac{π n}{2}$ ، لأي عدد صحيح $n$