حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 \ln (2 x) + \ln (16 x) = 0$

خطوة 1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$2 \ln (2 x) + \ln (16 x) = 0$

خطوة 2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط $2 \ln (2 x) + \ln (16 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

بسّط $2 \ln (2 x)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\ln ({(2 x)}^{2}) + \ln (16 x) = 0$

خطوة 2.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $2 x$ .

$\ln (2^{2} x^{2}) + \ln (16 x) = 0$

خطوة 2.1.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\ln (4 x^{2}) + \ln (16 x) = 0$

خطوة 2.1.2

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (4 x^{2} (16 x)) = 0$

خطوة 2.1.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\ln (4 \cdot 16 x^{2} x) = 0$

خطوة 2.1.4

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

انقُل $x$ .

$\ln (4 \cdot 16 (x \cdot x^{2})) = 0$

خطوة 2.1.4.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\ln (4 \cdot 16 (x^{1} x^{2})) = 0$

خطوة 2.1.4.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\ln (4 \cdot 16 x^{1 + 2}) = 0$

خطوة 2.1.4.3

أضف $1$ و $2$ .

$\ln (4 \cdot 16 x^{3}) = 0$

خطوة 2.1.5

اضرب $4$ في $16$ .

$\ln (64 x^{3}) = 0$

خطوة 3

لإيجاد قيمة $x$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (64 x^{3})} = e^{0}$

خطوة 4

أعِد كتابة $\ln (64 x^{3}) = 0$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{0} = 64 x^{3}$

خطوة 5

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $64 x^{3} = e^{0}$ .

$64 x^{3} = e^{0}$

خطوة 5.2

اطرح $e^{0}$ من كلا المتعادلين.

$64 x^{3} - e^{0} = 0$

خطوة 5.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$64 x^{3} - 1 \cdot 1 = 0$

خطوة 5.3.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$64 x^{3} - 1 = 0$

خطوة 5.4

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أعِد كتابة $64 x^{3}$ بالصيغة ${(4 x)}^{3}$ .

${(4 x)}^{3} - 1 = 0$

خطوة 5.4.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{3}$ .

${(4 x)}^{3} - 1^{3} = 0$

خطوة 5.4.3

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مكعبين، $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ حيث $a = 4 x$ و $b = 1$ .

$(4 x - 1) ({(4 x)}^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

خطوة 5.4.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.4.1

طبّق قاعدة الضرب على $4 x$ .

$(4 x - 1) (4^{2} x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

خطوة 5.4.4.2

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

خطوة 5.4.4.3

اضرب $4$ في $1$ .

$(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1^{2}) = 0$

خطوة 5.4.4.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1) = 0$

خطوة 5.5

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$4 x - 1 = 0$

$16 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

خطوة 5.6

عيّن قيمة العبارة $4 x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

عيّن قيمة $4 x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$4 x - 1 = 0$

خطوة 5.6.2

أوجِد قيمة $x$ في $4 x - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$4 x = 1$

خطوة 5.6.2.2

اقسِم كل حد في $4 x = 1$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.2.1

اقسِم كل حد في $4 x = 1$ على $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

خطوة 5.6.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

خطوة 5.6.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

خطوة 5.7

عيّن قيمة العبارة $16 x^{2} + 4 x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1

عيّن قيمة $16 x^{2} + 4 x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$16 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

خطوة 5.7.2

أوجِد قيمة $x$ في $16 x^{2} + 4 x + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 5.7.2.2

عوّض بقيم $a = 16$ و $b = 4$ و $c = 1$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 1)}}{2 \cdot 16}$

خطوة 5.7.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.3.1.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

خطوة 5.7.2.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

خطوة 5.7.2.3.1.2.2

اضرب $- 64$ في $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

خطوة 5.7.2.3.1.3

اطرح $64$ من $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

خطوة 5.7.2.3.1.4

أعِد كتابة $- 48$ بالصيغة $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

خطوة 5.7.2.3.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (48)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

خطوة 5.7.2.3.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

خطوة 5.7.2.3.1.7

أعِد كتابة $48$ بالصيغة $4^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.3.1.7.1

أخرِج العامل $16$ من $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

خطوة 5.7.2.3.1.7.2

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

خطوة 5.7.2.3.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

خطوة 5.7.2.3.1.9

انقُل $4$ إلى يسار $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

خطوة 5.7.2.3.2

اضرب $2$ في $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

خطوة 5.7.2.3.3

بسّط $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

خطوة 5.7.2.4

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

خطوة 5.8

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1) = 0$ صحيحة.

$x = \frac{1}{4}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$