حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 \cos (3 x) + 1 = \cos (2 x) + 2 \cos (x)$

خطوة 1

انقُل كل العبارات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $\cos (2 x)$ من كلا المتعادلين.

$2 \cos (3 x) + 1 - \cos (2 x) = 2 \cos (x)$

خطوة 1.2

اطرح $2 \cos (x)$ من كلا المتعادلين.

$2 \cos (3 x) + 1 - \cos (2 x) - 2 \cos (x) = 0$

خطوة 2

بسّط المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استخدِم المتطابقة ثلاثية الزوايا لتحويل $\cos (3 x)$ إلى $4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$ .

$2 (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) + 1 - \cos (2 x) - 2 \cos (x) = 0$

خطوة 2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$2 (4 \cos^{3} (x)) + 2 (- 3 \cos (x)) + 1 - \cos (2 x) - 2 \cos (x) = 0$

خطوة 2.1.3

اضرب $4$ في $2$ .

$8 \cos^{3} (x) + 2 (- 3 \cos (x)) + 1 - \cos (2 x) - 2 \cos (x) = 0$

خطوة 2.1.4

اضرب $- 3$ في $2$ .

$8 \cos^{3} (x) - 6 \cos (x) + 1 - \cos (2 x) - 2 \cos (x) = 0$

خطوة 2.1.5

استخدِم متطابقة ضعف الزاوية لتحويل $\cos (2 x)$ إلى $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$8 \cos^{3} (x) - 6 \cos (x) + 1 - (2 \cos^{2} (x) - 1) - 2 \cos (x) = 0$

خطوة 2.1.6

طبّق خاصية التوزيع.

$8 \cos^{3} (x) - 6 \cos (x) + 1 - (2 \cos^{2} (x)) + 1 - 2 \cos (x) = 0$

خطوة 2.1.7

اضرب $2$ في $- 1$ .

$8 \cos^{3} (x) - 6 \cos (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos (x) = 0$

خطوة 2.1.8

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$8 \cos^{3} (x) - 6 \cos (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos (x) = 0$

خطوة 2.2

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اطرح $2 \cos (x)$ من $- 6 \cos (x)$ .

$8 \cos^{3} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) + 1 - 8 \cos (x) = 0$

خطوة 2.2.2

أضف $1$ و $1$ .

$8 \cos^{3} (x) + 2 - 2 \cos^{2} (x) - 8 \cos (x) = 0$

خطوة 3

حلّل $8 \cos^{3} (x) + 2 - 2 \cos^{2} (x) - 8 \cos (x)$ إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أخرِج العامل $2$ من $8 \cos^{3} (x) + 2 - 2 \cos^{2} (x) - 8 \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $8 \cos^{3} (x)$ .

$2 (4 \cos^{3} (x)) + 2 - 2 \cos^{2} (x) - 8 \cos (x) = 0$

خطوة 3.1.2

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$2 (4 \cos^{3} (x)) + 2 (1) - 2 \cos^{2} (x) - 8 \cos (x) = 0$

خطوة 3.1.3

أخرِج العامل $2$ من $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$2 (4 \cos^{3} (x)) + 2 (1) + 2 (- \cos^{2} (x)) - 8 \cos (x) = 0$

خطوة 3.1.4

أخرِج العامل $2$ من $- 8 \cos (x)$ .

$2 (4 \cos^{3} (x)) + 2 (1) + 2 (- \cos^{2} (x)) + 2 (- 4 \cos (x)) = 0$

خطوة 3.1.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (4 \cos^{3} (x)) + 2 (1)$ .

$2 (4 \cos^{3} (x) + 1) + 2 (- \cos^{2} (x)) + 2 (- 4 \cos (x)) = 0$

خطوة 3.1.6

أخرِج العامل $2$ من $2 (4 \cos^{3} (x) + 1) + 2 (- \cos^{2} (x))$ .

$2 (4 \cos^{3} (x) + 1 - \cos^{2} (x)) + 2 (- 4 \cos (x)) = 0$

خطوة 3.1.7

أخرِج العامل $2$ من $2 (4 \cos^{3} (x) + 1 - \cos^{2} (x)) + 2 (- 4 \cos (x))$ .

$2 (4 \cos^{3} (x) + 1 - \cos^{2} (x) - 4 \cos (x)) = 0$

خطوة 3.2

أعِد ترتيب الحدود.

$2 (4 \cos^{3} (x) - \cos^{2} (x) - 4 \cos (x) + 1) = 0$

خطوة 3.3

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$2 (4 \cos^{3} (x) - \cos^{2} (x) - 4 \cos (x) + 1) = 0$

خطوة 3.3.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$2 (\cos^{2} (x) (4 \cos (x) - 1) - (4 \cos (x) - 1)) = 0$

خطوة 3.4

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $4 \cos (x) - 1$ .

$2 ((4 \cos (x) - 1) (\cos^{2} (x) - 1)) = 0$

خطوة 3.5

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$2 ((4 \cos (x) - 1) (\cos^{2} (x) - 1^{2})) = 0$

خطوة 3.6

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = \cos (x)$ و $b = 1$ .

$2 ((4 \cos (x) - 1) ((\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1))) = 0$

خطوة 3.6.1.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$2 ((4 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)) = 0$

خطوة 3.6.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$2 (4 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

خطوة 4

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$4 \cos (x) - 1 = 0$

$\cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

خطوة 5

عيّن قيمة العبارة $4 \cos (x) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة $4 \cos (x) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$4 \cos (x) - 1 = 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة $x$ في $4 \cos (x) - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$4 \cos (x) = 1$

خطوة 5.2.2

اقسِم كل حد في $4 \cos (x) = 1$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اقسِم كل حد في $4 \cos (x) = 1$ على $4$ .

$\frac{4 \cos (x)}{4} = \frac{1}{4}$

خطوة 5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 \cos (x)}{4} = \frac{1}{4}$

خطوة 5.2.2.2.1.2

اقسِم $\cos (x)$ على $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{4}$

خطوة 5.2.3

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (\frac{1}{4})$

خطوة 5.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

احسِب قيمة $\arccos (\frac{1}{4})$ .

$x = 1.31811607$

خطوة 5.2.5

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = 2 (3.14159265) - 1.31811607$

خطوة 5.2.6

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.1

احذِف الأقواس.

$x = 2 (3.14159265) - 1.31811607$

خطوة 5.2.6.2

بسّط $2 (3.14159265) - 1.31811607$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.2.1

اضرب $2$ في $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.31811607$

خطوة 5.2.6.2.2

اطرح $1.31811607$ من $6.2831853$ .

$x = 4.96506923$

خطوة 5.2.7

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 5.2.7.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 5.2.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 5.2.7.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 5.2.8

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6

عيّن قيمة العبارة $\cos (x) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة $\cos (x) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\cos (x) + 1 = 0$

خطوة 6.2

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$\cos (x) = - 1$

خطوة 6.2.2

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (- 1)$

خطوة 6.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (- 1)$ هي $π$ .

$x = π$

خطوة 6.2.4

دالة جيب التمام سالبة في الربعين الثاني والثالث. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 π - π$

خطوة 6.2.5

اطرح $π$ من $2 π$ .

$x = π$

خطوة 6.2.6

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 6.2.6.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 6.2.6.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 6.2.6.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 6.2.7

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 7

عيّن قيمة العبارة $\cos (x) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عيّن قيمة $\cos (x) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

خطوة 7.2

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$\cos (x) = 1$

خطوة 7.2.2

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (1)$

خطوة 7.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (1)$ هي $0$ .

$x = 0$

خطوة 7.2.4

$x = 2 π - 0$

خطوة 7.2.5

اطرح $0$ من $2 π$ .

$x = 2 π$

خطوة 7.2.6

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 7.2.6.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 7.2.6.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 7.2.6.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 7.2.7

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 8

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $2 (4 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ صحيحة.

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n, π + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 9

وحّد الإجابات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

ادمج $π + 2 π n$ و $2 π n$ في $π n$ .

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n, π n, 2 π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 9.2

ادمج $π n$ و $2 π + 2 π n$ في $π n$ .

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n, π n$ ، لأي عدد صحيح $n$