حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\ln (x) = \frac{1}{3} \cdot (\ln (16) + 2 \ln (2))$

خطوة 1

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بسّط $\frac{1}{3} \cdot (\ln (16) + 2 \ln (2))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (x) = \frac{1}{3} \ln (16) + \frac{1}{3} (2 \ln (2))$

خطوة 1.1.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $\ln (16)$ .

$\ln (x) = \frac{\ln (16)}{3} + \frac{1}{3} (2 \ln (2))$

خطوة 1.1.3

اضرب $\frac{1}{3} (2 \ln (2))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{3}$ .

$\ln (x) = \frac{\ln (16)}{3} + \frac{2}{3} \ln (2)$

خطوة 1.1.3.2

اجمع $\frac{2}{3}$ و $\ln (2)$ .

$\ln (x) = \frac{\ln (16)}{3} + \frac{2 \ln (2)}{3}$

خطوة 2

اضرب كل حد في $\ln (x) = \frac{\ln (16)}{3} + \frac{2 \ln (2)}{3}$ في $3$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في $\ln (x) = \frac{\ln (16)}{3} + \frac{2 \ln (2)}{3}$ في $3$ .

$\ln (x) \cdot 3 = \frac{\ln (16)}{3} \cdot 3 + \frac{2 \ln (2)}{3} \cdot 3$

خطوة 2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

انقُل $3$ إلى يسار $\ln (x)$ .

$3 \ln (x) = \frac{\ln (16)}{3} \cdot 3 + \frac{2 \ln (2)}{3} \cdot 3$

خطوة 2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 \ln (x) = \frac{\ln (16)}{3} \cdot 3 + \frac{2 \ln (2)}{3} \cdot 3$

خطوة 2.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$3 \ln (x) = \ln (16) + \frac{2 \ln (2)}{3} \cdot 3$

خطوة 2.3.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 \ln (x) = \ln (16) + \frac{2 \ln (2)}{3} \cdot 3$

خطوة 2.3.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$3 \ln (x) = \ln (16) + 2 \ln (2)$

خطوة 3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط $3 \ln (x)$ بنقل $3$ داخل اللوغاريتم.

$\ln (x^{3}) = \ln (16) + 2 \ln (2)$

خطوة 4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط $\ln (16) + 2 \ln (2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.1

بسّط $2 \ln (2)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\ln (x^{3}) = \ln (16) + \ln (2^{2})$

خطوة 4.1.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\ln (x^{3}) = \ln (16) + \ln (4)$

خطوة 4.1.2

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x^{3}) = \ln (16 \cdot 4)$

خطوة 4.1.3

اضرب $16$ في $4$ .

$\ln (x^{3}) = \ln (64)$

خطوة 5

لكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن يتساوى المتغير المستقل للوغاريتمات في كلا المتعادلين.

$x^{3} = 64$

خطوة 6

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اطرح $64$ من كلا المتعادلين.

$x^{3} - 64 = 0$

خطوة 6.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أعِد كتابة $64$ بالصيغة $4^{3}$ .

$x^{3} - 4^{3} = 0$

خطوة 6.2.2

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مكعبين، $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ حيث $a = x$ و $b = 4$ .

$(x - 4) (x^{2} + x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

خطوة 6.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

انقُل $4$ إلى يسار $x$ .

$(x - 4) (x^{2} + 4 x + 4^{2}) = 0$

خطوة 6.2.3.2

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$

خطوة 6.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 4 = 0$

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

خطوة 6.4

عيّن قيمة العبارة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

عيّن قيمة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 4 = 0$

خطوة 6.4.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 4$

خطوة 6.5

عيّن قيمة العبارة $x^{2} + 4 x + 16$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

عيّن قيمة $x^{2} + 4 x + 16$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

خطوة 6.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} + 4 x + 16 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 6.5.2.2

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = 4$ و $c = 16$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.5.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.3.1.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.5.2.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.5.2.3.1.2.2

اضرب $- 4$ في $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.5.2.3.1.3

اطرح $64$ من $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.5.2.3.1.4

أعِد كتابة $- 48$ بالصيغة $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.5.2.3.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (48)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.5.2.3.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.5.2.3.1.7

أعِد كتابة $48$ بالصيغة $4^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.3.1.7.1

أخرِج العامل $16$ من $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.5.2.3.1.7.2

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.5.2.3.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.5.2.3.1.9

انقُل $4$ إلى يسار $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.5.2.3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 6.5.2.3.3

بسّط $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

خطوة 6.5.2.4

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

خطوة 6.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$ صحيحة.

$x = 4, - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$