حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\ln (5 x^{2} + 2 x - 15) - 2 \ln (2 x - 1) = 0$

خطوة 1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (5 x^{2} + 2 x - 15) - 2 \ln (2 x - 1) = 0$

خطوة 2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط $\ln (5 x^{2} + 2 x - 15) - 2 \ln (2 x - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بسّط $- 2 \ln (2 x - 1)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\ln (5 x^{2} + 2 x - 15) - \ln ({(2 x - 1)}^{2}) = 0$

خطوة 2.1.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{5 x^{2} + 2 x - 15}{{(2 x - 1)}^{2}}) = 0$

خطوة 3

أعِد كتابة $\ln (\frac{5 x^{2} + 2 x - 15}{{(2 x - 1)}^{2}}) = 0$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ أعداد حقيقية موجبة وكان $b$ $\neq$ $1$ ، فإن $\log_{b} (x) = y$ مكافئة لـ $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{5 x^{2} + 2 x - 15}{{(2 x - 1)}^{2}}$

خطوة 4

استخدِم الضرب التبادلي لحذف الكسر.

$5 x^{2} + 2 x - 15 = e^{0} ({(2 x - 1)}^{2})$

خطوة 5

بسّط $e^{0} ({(2 x - 1)}^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 1 {(2 x - 1)}^{2}$

خطوة 5.1.2

اضرب ${(2 x - 1)}^{2}$ في $1$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = {(2 x - 1)}^{2}$

خطوة 5.1.3

أعِد كتابة ${(2 x - 1)}^{2}$ بالصيغة $(2 x - 1) (2 x - 1)$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = (2 x - 1) (2 x - 1)$

خطوة 5.2

وسّع $(2 x - 1) (2 x - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 2 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)$

خطوة 5.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)$

خطوة 5.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

خطوة 5.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

خطوة 5.3.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.1

انقُل $x$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

خطوة 5.3.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

خطوة 5.3.1.3

اضرب $2$ في $2$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 4 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

خطوة 5.3.1.4

اضرب $- 1$ في $2$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 4 x^{2} - 2 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

خطوة 5.3.1.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 4 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1$

خطوة 5.3.1.6

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 4 x^{2} - 2 x - 2 x + 1$

خطوة 5.3.2

اطرح $2 x$ من $- 2 x$ .

$5 x^{2} + 2 x - 15 = 4 x^{2} - 4 x + 1$

خطوة 6

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اطرح $4 x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$5 x^{2} + 2 x - 15 - 4 x^{2} = - 4 x + 1$

خطوة 6.2

أضف $4 x$ إلى كلا المتعادلين.

$5 x^{2} + 2 x - 15 - 4 x^{2} + 4 x = 1$

خطوة 6.3

اطرح $4 x^{2}$ من $5 x^{2}$ .

$x^{2} + 2 x - 15 + 4 x = 1$

خطوة 6.4

أضف $2 x$ و $4 x$ .

$x^{2} + 6 x - 15 = 1$

خطوة 7

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أضف $15$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{2} + 6 x = 1 + 15$

خطوة 7.2

أضف $1$ و $15$ .

$x^{2} + 6 x = 16$

خطوة 8

اطرح $16$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} + 6 x - 16 = 0$

خطوة 9

حلّل $x^{2} + 6 x - 16$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 16$ ومجموعهما $6$ .

$- 2, 8$

خطوة 9.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(x - 2) (x + 8) = 0$

خطوة 10

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 8 = 0$

خطوة 11

عيّن قيمة العبارة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

عيّن قيمة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 2 = 0$

خطوة 11.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 12

عيّن قيمة العبارة $x + 8$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

عيّن قيمة $x + 8$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 8 = 0$

خطوة 12.2

اطرح $8$ من كلا المتعادلين.

$x = - 8$

خطوة 13

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x - 2) (x + 8) = 0$ صحيحة.

$x = 2, - 8$

خطوة 14

استبعِد الحلول التي لا تجعل $\ln (5 x^{2} + 2 x - 15) - 2 \ln (2 x - 1) = 0$ صحيحة.

$x = 2$