حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{8 x^{3} - 27}{2 x^{2} - x - 3} < \frac{3}{2}$

خطوة 1

اطرح $\frac{3}{2}$ من كلا طرفي المتباينة.

$\frac{8 x^{3} - 27}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

خطوة 2

بسّط $\frac{8 x^{3} - 27}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

أعِد كتابة $8 x^{3}$ بالصيغة ${(2 x)}^{3}$ .

$\frac{{(2 x)}^{3} - 27}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

خطوة 2.1.1.2

أعِد كتابة $27$ بالصيغة $3^{3}$ .

$\frac{{(2 x)}^{3} - 3^{3}}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

خطوة 2.1.1.3

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مكعبين، $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ حيث $a = 2 x$ و $b = 3$ .

$\frac{(2 x - 3) ({(2 x)}^{2} + 2 x \cdot 3 + 3^{2})}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

خطوة 2.1.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.4.1

طبّق قاعدة الضرب على $2 x$ .

$\frac{(2 x - 3) (2^{2} x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3^{2})}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

خطوة 2.1.1.4.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3^{2})}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

خطوة 2.1.1.4.3

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 3^{2})}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

خطوة 2.1.1.4.4

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x^{2} - x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

خطوة 2.1.2

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ ومجموعهما $b = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x^{2} - (x) - 3} - \frac{3}{2} < 0$

خطوة 2.1.2.1.2

أعِد كتابة $- 1$ في صورة $2$ زائد $- 3$

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x^{2} + (2 - 3) x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

خطوة 2.1.2.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x^{2} + 2 x - 3 x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

خطوة 2.1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{(2 x^{2} + 2 x) - 3 x - 3} - \frac{3}{2} < 0$

خطوة 2.1.2.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{2 x (x + 1) - 3 (x + 1)} - \frac{3}{2} < 0$

خطوة 2.1.2.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $x + 1$ .

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{(x + 1) (2 x - 3)} - \frac{3}{2} < 0$

خطوة 2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2 x - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9)}{(x + 1) (2 x - 3)} - \frac{3}{2} < 0$

خطوة 2.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1} - \frac{3}{2} < 0$

خطوة 2.2

لكتابة $\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2} < 0$

خطوة 2.3

لكتابة $- \frac{3}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} < 0$

خطوة 2.4

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $(x + 1) \cdot 2$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

اضرب $\frac{4 x^{2} + 6 x + 9}{x + 1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(4 x^{2} + 6 x + 9) \cdot 2}{(x + 1) \cdot 2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} < 0$

خطوة 2.4.2

اضرب $\frac{3}{2}$ في $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(4 x^{2} + 6 x + 9) \cdot 2}{(x + 1) \cdot 2} - \frac{3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

خطوة 2.4.3

أعِد ترتيب عوامل $(x + 1) \cdot 2$ .

$\frac{(4 x^{2} + 6 x + 9) \cdot 2}{2 (x + 1)} - \frac{3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

خطوة 2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{(4 x^{2} + 6 x + 9) \cdot 2 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

خطوة 2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 x^{2} \cdot 2 + 6 x \cdot 2 + 9 \cdot 2 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

خطوة 2.6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.2.1

اضرب $2$ في $4$ .

$\frac{8 x^{2} + 6 x \cdot 2 + 9 \cdot 2 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

خطوة 2.6.2.2

اضرب $2$ في $6$ .

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 9 \cdot 2 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

خطوة 2.6.2.3

اضرب $9$ في $2$ .

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 18 - 3 (x + 1)}{2 (x + 1)} < 0$

خطوة 2.6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 18 - 3 x - 3 \cdot 1}{2 (x + 1)} < 0$

خطوة 2.6.4

اضرب $- 3$ في $1$ .

$\frac{8 x^{2} + 12 x + 18 - 3 x - 3}{2 (x + 1)} < 0$

خطوة 2.6.5

اطرح $3 x$ من $12 x$ .

$\frac{8 x^{2} + 9 x + 18 - 3}{2 (x + 1)} < 0$

خطوة 2.6.6

اطرح $3$ من $18$ .

$\frac{8 x^{2} + 9 x + 15}{2 (x + 1)} < 0$

خطوة 3

أوجِد جميع القيم التي تتحول فيها العبارة من سالبة إلى موجبة بتعيين قيمة كل عامل لتصبح مساوية لـ $0$ وحلّها.

$8 x^{2} + 9 x + 15 = 0$

$x + 1 = 0$

خطوة 4

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 5

عوّض بقيم $a = 8$ و $b = 9$ و $c = 15$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (8 \cdot 15)}}{2 \cdot 8}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

ارفع $9$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 8 \cdot 15}}{2 \cdot 8}$

خطوة 6.1.2

اضرب $- 4 \cdot 8 \cdot 15$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

اضرب $- 4$ في $8$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32 \cdot 15}}{2 \cdot 8}$

خطوة 6.1.2.2

اضرب $- 32$ في $15$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 480}}{2 \cdot 8}$

خطوة 6.1.3

اطرح $480$ من $81$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 399}}{2 \cdot 8}$

خطوة 6.1.4

أعِد كتابة $- 399$ بالصيغة $- 1 (399)$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1 \cdot 399}}{2 \cdot 8}$

خطوة 6.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (399)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{399}$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{399}}{2 \cdot 8}$

خطوة 6.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \frac{- 9 \pm i \sqrt{399}}{2 \cdot 8}$

خطوة 6.2

اضرب $2$ في $8$ .

$x = \frac{- 9 \pm i \sqrt{399}}{16}$

خطوة 7

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = - \frac{9 - i \sqrt{399}}{16}, - \frac{9 + i \sqrt{399}}{16}$

خطوة 8

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x = - 1$

خطوة 9

أوجِد قيمة كل عامل لإيجاد القيم التي تنتقل فيها عبارة القيمة المطلقة من السالب إلى الموجب.

$x = - \frac{9 - i \sqrt{399}}{16}, - \frac{9 + i \sqrt{399}}{16}$

$x = - 1$

خطوة 10

أوجِد نطاق $\frac{8 x^{2} + 9 x + 15}{2 (x + 1)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{8 x^{2} + 9 x + 15}{2 (x + 1)}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$2 (x + 1) = 0$

خطوة 10.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اقسِم كل حد في $2 (x + 1) = 0$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1.1

اقسِم كل حد في $2 (x + 1) = 0$ على $2$ .

$\frac{2 (x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 10.2.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 10.2.1.2.1.2

اقسِم $x + 1$ على $1$ .

$x + 1 = \frac{0}{2}$

خطوة 10.2.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1.3.1

اقسِم $0$ على $2$ .

$x + 1 = 0$

خطوة 10.2.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x = - 1$

خطوة 10.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

خطوة 11

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$x < - 1$

خطوة 12

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

صيغة التباين:

$x < - 1$

ترميز الفترة:

$(- \infty, - 1)$

خطوة 13