حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$e^{2 x} - 3 e^{x} + 2 < 0$

خطوة 1

أعِد كتابة $e^{2 x}$ في صورة أُس.

${(e^{x})}^{2} - 3 e^{x} + 2 = 0$

خطوة 2

عوّض بقيمة $e^{x}$ التي تساوي $u$ .

$u^{2} - 3 u + 2 = 0$

خطوة 3

أوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

حلّل $u^{2} - 3 u + 2$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $2$ ومجموعهما $- 3$ .

$- 2, - 1$

خطوة 3.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(u - 2) (u - 1) = 0$

خطوة 3.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$u - 2 = 0$

$u - 1 = 0$

خطوة 3.3

عيّن قيمة العبارة $u - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

عيّن قيمة $u - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$u - 2 = 0$

خطوة 3.3.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$u = 2$

خطوة 3.4

عيّن قيمة العبارة $u - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

عيّن قيمة $u - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$u - 1 = 0$

خطوة 3.4.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$u = 1$

خطوة 3.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(u - 2) (u - 1) = 0$ صحيحة.

$u = 2, 1$

خطوة 4

عوّض بـ $2$ عن $u$ في $u = e^{x}$ .

$2 = e^{x}$

خطوة 5

أوجِد حل $2 = e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $e^{x} = 2$ .

$e^{x} = 2$

خطوة 5.2

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

خطوة 5.3

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

وسّع $\ln (e^{x})$ بنقل $x$ خارج اللوغاريتم.

$x \ln (e) = \ln (2)$

خطوة 5.3.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2)$

خطوة 5.3.3

اضرب $x$ في $1$ .

$x = \ln (2)$

خطوة 6

عوّض بـ $1$ عن $u$ في $u = e^{x}$ .

$1 = e^{x}$

خطوة 7

أوجِد حل $1 = e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $e^{x} = 1$ .

$e^{x} = 1$

خطوة 7.2

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{x}) = \ln (1)$

خطوة 7.3

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

وسّع $\ln (e^{x})$ بنقل $x$ خارج اللوغاريتم.

$x \ln (e) = \ln (1)$

خطوة 7.3.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (1)$

خطوة 7.3.3

اضرب $x$ في $1$ .

$x = \ln (1)$

خطوة 7.4

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 8

اسرِد الحلول التي تجعل المعادلة صحيحة.

$x = \ln (2), 0$

خطوة 9

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < 0$

$0 < x < \ln (2)$

$x > \ln (2)$

خطوة 10

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اختبر قيمة في الفترة $x < 0$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < 0$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 2$

خطوة 10.1.2

استبدِل $x$ بـ $- 2$ في المتباينة الأصلية.

$e^{2 (- 2)} - 3 e^{- 2} + 2 < 0$

خطوة 10.1.3

الطرف الأيسر $1.61230978$ ليس أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 10.2

اختبر قيمة في الفترة $0 < x < \ln (2)$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اختر قيمة من الفترة $0 < x < \ln (2)$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 0.35$

خطوة 10.2.2

استبدِل $x$ بـ $0.35$ في المتباينة الأصلية.

$e^{2 (0.35)} - 3 e^{0.35} + 2 < 0$

خطوة 10.2.3

الطرف الأيسر $- 0.24344993$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 10.3

اختبر قيمة في الفترة $x > \ln (2)$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

اختر قيمة من الفترة $x > \ln (2)$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 3$

خطوة 10.3.2

استبدِل $x$ بـ $3$ في المتباينة الأصلية.

$e^{2 (3)} - 3 e^{3} + 2 < 0$

خطوة 10.3.3

الطرف الأيسر $345.17218272$ ليس أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 10.4

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < 0$ خطأ

$0 < x < \ln (2)$ صحيحة

$x > \ln (2)$ خطأ

$x < 0$ خطأ

$0 < x < \ln (2)$ صحيحة

$x > \ln (2)$ خطأ

خطوة 11

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$0 < x < \ln (2)$

خطوة 12

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

صيغة التباين:

$0 < x < \ln (2)$

ترميز الفترة:

$(0, \ln (2))$

خطوة 13