حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$6 k^{3} - 5 k^{2} < 4 k$

خطوة 1

اطرح $4 k$ من كلا طرفي المتباينة.

$6 k^{3} - 5 k^{2} - 4 k < 0$

خطوة 2

حوّل المتباينة إلى معادلة.

$6 k^{3} - 5 k^{2} - 4 k = 0$

خطوة 3

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أخرِج العامل $k$ من $6 k^{3} - 5 k^{2} - 4 k$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $k$ من $6 k^{3}$ .

$k (6 k^{2}) - 5 k^{2} - 4 k = 0$

خطوة 3.1.2

أخرِج العامل $k$ من $- 5 k^{2}$ .

$k (6 k^{2}) + k (- 5 k) - 4 k = 0$

خطوة 3.1.3

أخرِج العامل $k$ من $- 4 k$ .

$k (6 k^{2}) + k (- 5 k) + k \cdot - 4 = 0$

خطوة 3.1.4

أخرِج العامل $k$ من $k (6 k^{2}) + k (- 5 k)$ .

$k (6 k^{2} - 5 k) + k \cdot - 4 = 0$

خطوة 3.1.5

أخرِج العامل $k$ من $k (6 k^{2} - 5 k) + k \cdot - 4$ .

$k (6 k^{2} - 5 k - 4) = 0$

خطوة 3.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 6 \cdot - 4 = - 24$ ومجموعهما $b = - 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

أخرِج العامل $- 5$ من $- 5 k$ .

$k (6 k^{2} - 5 k - 4) = 0$

خطوة 3.2.1.1.2

أعِد كتابة $- 5$ في صورة $3$ زائد $- 8$

$k (6 k^{2} + (3 - 8) k - 4) = 0$

خطوة 3.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$k (6 k^{2} + 3 k - 8 k - 4) = 0$

خطوة 3.2.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$k ((6 k^{2} + 3 k) - 8 k - 4) = 0$

خطوة 3.2.1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$k (3 k (2 k + 1) - 4 (2 k + 1)) = 0$

خطوة 3.2.1.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $2 k + 1$ .

$k ((2 k + 1) (3 k - 4)) = 0$

خطوة 3.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$k (2 k + 1) (3 k - 4) = 0$

خطوة 4

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$k = 0$

$2 k + 1 = 0$

$3 k - 4 = 0$

خطوة 5

عيّن قيمة $k$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$k = 0$

خطوة 6

عيّن قيمة العبارة $2 k + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $k$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة $2 k + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 k + 1 = 0$

خطوة 6.2

أوجِد قيمة $k$ في $2 k + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$2 k = - 1$

خطوة 6.2.2

اقسِم كل حد في $2 k = - 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 k = - 1$ على $2$ .

$\frac{2 k}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 6.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 k}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 6.2.2.2.1.2

اقسِم $k$ على $1$ .

$k = \frac{- 1}{2}$

خطوة 6.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$k = - \frac{1}{2}$

خطوة 7

عيّن قيمة العبارة $3 k - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $k$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عيّن قيمة $3 k - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$3 k - 4 = 0$

خطوة 7.2

أوجِد قيمة $k$ في $3 k - 4 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$3 k = 4$

خطوة 7.2.2

اقسِم كل حد في $3 k = 4$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

اقسِم كل حد في $3 k = 4$ على $3$ .

$\frac{3 k}{3} = \frac{4}{3}$

خطوة 7.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 k}{3} = \frac{4}{3}$

خطوة 7.2.2.2.1.2

اقسِم $k$ على $1$ .

$k = \frac{4}{3}$

خطوة 8

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $k (2 k + 1) (3 k - 4) = 0$ صحيحة.

$k = 0, - \frac{1}{2}, \frac{4}{3}$

خطوة 9

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$k < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < k < 0$

$0 < k < \frac{4}{3}$

$k > \frac{4}{3}$

خطوة 10

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اختبر قيمة في الفترة $k < - \frac{1}{2}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

اختر قيمة من الفترة $k < - \frac{1}{2}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$k = - 3$

خطوة 10.1.2

استبدِل $k$ بـ $- 3$ في المتباينة الأصلية.

$6 {(- 3)}^{3} - 5 {(- 3)}^{2} < 4 (- 3)$

خطوة 10.1.3

الطرف الأيسر $- 207$ أصغر من الطرف الأيمن $- 12$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 10.2

اختبر قيمة في الفترة $- \frac{1}{2} < k < 0$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اختر قيمة من الفترة $- \frac{1}{2} < k < 0$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$k = - 0.25$

خطوة 10.2.2

استبدِل $k$ بـ $- 0.25$ في المتباينة الأصلية.

$6 {(- 0.25)}^{3} - 5 {(- 0.25)}^{2} < 4 (- 0.25)$

خطوة 10.2.3

الطرف الأيسر $- 0.40625$ ليس أصغر من الطرف الأيمن $- 1$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 10.3

اختبر قيمة في الفترة $0 < k < \frac{4}{3}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

اختر قيمة من الفترة $0 < k < \frac{4}{3}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$k = 1$

خطوة 10.3.2

استبدِل $k$ بـ $1$ في المتباينة الأصلية.

$6 {(1)}^{3} - 5 {(1)}^{2} < 4 (1)$

خطوة 10.3.3

الطرف الأيسر $1$ أصغر من الطرف الأيمن $4$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 10.4

اختبر قيمة في الفترة $k > \frac{4}{3}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1

اختر قيمة من الفترة $k > \frac{4}{3}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$k = 4$

خطوة 10.4.2

استبدِل $k$ بـ $4$ في المتباينة الأصلية.

$6 {(4)}^{3} - 5 {(4)}^{2} < 4 (4)$

خطوة 10.4.3

الطرف الأيسر $304$ ليس أصغر من الطرف الأيمن $16$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 10.5

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$k < - \frac{1}{2}$ صحيحة

$- \frac{1}{2} < k < 0$ خطأ

$0 < k < \frac{4}{3}$ صحيحة

$k > \frac{4}{3}$ خطأ

$k < - \frac{1}{2}$ صحيحة

$- \frac{1}{2} < k < 0$ خطأ

$0 < k < \frac{4}{3}$ صحيحة

$k > \frac{4}{3}$ خطأ

خطوة 11

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$k < - \frac{1}{2}$ أو $0 < k < \frac{4}{3}$

خطوة 12

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

صيغة التباين:

$k < - \frac{1}{2} or 0 < k < \frac{4}{3}$

ترميز الفترة:

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (0, \frac{4}{3})$

خطوة 13