حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2} - y^{2}$ و $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{(x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}] - (x^{2} - y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) - (x^{2} - y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) - (x^{2} - y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

خطوة 2.3

بما أن $- y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (2 x + 0) - (x^{2} - y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

خطوة 2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (2 x) - (x^{2} - y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

خطوة 2.4.2

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + y^{2}) x - (x^{2} - y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

خطوة 2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{2 (x^{2} + y^{2}) x - (x^{2} - y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + y^{2}) x - (x^{2} - y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

خطوة 2.7

بما أن $y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + y^{2}) x - (x^{2} - y^{2}) (2 x + 0)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

خطوة 2.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + y^{2}) x - (x^{2} - y^{2}) (2 x)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

خطوة 2.8.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + y^{2}) x - 2 (x^{2} - y^{2}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(2 x^{2} + 2 y^{2}) x - 2 (x^{2} - y^{2}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

خطوة 3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} x + 2 y^{2} x - 2 (x^{2} - y^{2}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

خطوة 3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} x + 2 y^{2} x + (- 2 x^{2} - 2 (- y^{2})) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

خطوة 3.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} x + 2 y^{2} x - 2 x^{2} x - 2 (- y^{2}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

خطوة 3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 x^{2} x + 2 y^{2} x - 2 x^{2} x - 2 (- y^{2}) x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.1

اطرح $2 x^{2} x$ من $2 x^{2} x$ .

$\frac{2 y^{2} x + 0 - 2 (- y^{2}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

خطوة 3.5.1.2

أضف $2 y^{2} x$ و $0$ .

$\frac{2 y^{2} x - 2 (- y^{2}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

خطوة 3.5.2

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$\frac{2 y^{2} x + 2 y^{2} x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

خطوة 3.5.3

أضف $2 y^{2} x$ و $2 y^{2} x$ .

$\frac{4 y^{2} x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$