حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ و $g (x) = a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3}{2} {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 3

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{3}{2} {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{3}{2} {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 5.2

اطرح $2$ من $3$ .

$\frac{3}{2} {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 6

اجمع $\frac{3}{2}$ و ${(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [a^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [a^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}])$

خطوة 8

بما أن $a^{\frac{2}{3}}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $a^{\frac{2}{3}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}])$

خطوة 9

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 10

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{\frac{2}{3}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}])$

خطوة 11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

خطوة 12

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

خطوة 13

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

خطوة 14

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))$

خطوة 15

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))$

خطوة 15.2

اطرح $3$ من $2$ .

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))$

خطوة 16

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))$

خطوة 17

اجمع $\frac{2}{3}$ و $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

خطوة 18

انقُل $x^{- \frac{1}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

خطوة 19

اضرب $\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ في $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 (3 x^{\frac{1}{3}})}$

خطوة 20

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.1

اضرب $2$ في $3$ .

$- \frac{6 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2 (3 x^{\frac{1}{3}})}$

خطوة 20.2

اضرب $3$ في $2$ .

$- \frac{6 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{6 x^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 21

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{6 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{6 x^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 22

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{{(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{3}}}$