حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{2} - x - 6}{x - 3}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2} - x - 6$ و $g (x) = x - 3$ .

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6] - (x^{2} - x - 6) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - x - 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x^{2} - x - 6) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x^{2} - x - 6) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x - 3) (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x^{2} - x - 6) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x - 3) (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x^{2} - x - 6) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 2.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{(x - 3) (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x^{2} - x - 6) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 2.6

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x - 3) (2 x - 1 + 0) - (x^{2} - x - 6) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 2.7

أضف $2 x - 1$ و $0$ .

$\frac{(x - 3) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 6) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 2.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(x - 3) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 6) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 2.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x - 3) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 6) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 2.10

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x - 3) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 6) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 2.11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{(x - 3) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 6) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 2.11.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{(x - 3) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 6)}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(x - 3) (2 x - 1) - x^{2} - - x - - 6}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

وسّع $(x - 3) (2 x - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1) - x^{2} - - x - - 6}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 1 - 3 (2 x - 1) - x^{2} - - x - - 6}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 1 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1 - x^{2} - - x - - 6}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 1 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1 - x^{2} - - x - - 6}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1.2.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 1 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1 - x^{2} - - x - - 6}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 1 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1 - x^{2} - - x - - 6}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.1.3

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 1 \cdot x - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1 - x^{2} - - x - - 6}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.1.4

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1 - x^{2} - - x - - 6}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.1.5

اضرب $2$ في $- 3$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 6 x - 3 \cdot - 1 - x^{2} - - x - - 6}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.1.6

اضرب $- 3$ في $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 6 x + 3 - x^{2} - - x - - 6}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.2

اطرح $6 x$ من $- x$ .

$\frac{2 x^{2} - 7 x + 3 - x^{2} - - x - - 6}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.3

اضرب $- - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 7 x + 3 - x^{2} + 1 x - - 6}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.3.2

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 7 x + 3 - x^{2} + x - - 6}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.4

اضرب $- 1$ في $- 6$ .

$\frac{2 x^{2} - 7 x + 3 - x^{2} + x + 6}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.2.2

اطرح $x^{2}$ من $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 7 x + 3 + x + 6}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.2.3

أضف $- 7 x$ و $x$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 3 + 6}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.2.4

أضف $3$ و $6$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 9}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.3

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 3^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.3.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

خطوة 3.3.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.3.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = 3$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.4

ألغِ العامل المشترك لـ ${(x - 3)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$1$