حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{2} - 3 x + 2}{x^{7} - 2}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2} - 3 x + 2$ و $g (x) = x^{7} - 2$ .

$\frac{(x^{7} - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 2] - (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{7} - 2]}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 3 x + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(x^{7} - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{7} - 2]}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{7} - 2]}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

خطوة 2.3

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{7} - 2]}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{7} - 2]}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

خطوة 2.5

اضرب $- 3$ في $1$ .

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3 + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{7} - 2]}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

خطوة 2.6

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3 + 0) - (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{7} - 2]}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

خطوة 2.7

أضف $2 x - 3$ و $0$ .

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{7} - 2]}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

خطوة 2.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{7} - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

خطوة 2.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 7$ .

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x + 2) (7 x^{6} + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

خطوة 2.10

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x + 2) (7 x^{6} + 0)}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

خطوة 2.11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1

أضف $7 x^{6}$ و $0$ .

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x + 2) (7 x^{6})}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

خطوة 2.11.2

اضرب $7$ في $- 1$ .

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3) - 7 (x^{2} - 3 x + 2) x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3) + (- 7 x^{2} - 7 (- 3 x) - 7 \cdot 2) x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(x^{7} - 2) (2 x - 3) - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

وسّع $(x^{7} - 2) (2 x - 3)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{7} (2 x - 3) - 2 (2 x - 3) - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{7} (2 x) + x^{7} \cdot - 3 - 2 (2 x - 3) - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{7} (2 x) + x^{7} \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2 x^{7} x + x^{7} \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.2.2

اضرب $x^{7}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.2.2.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{7}) + x^{7} \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.2.2.2

اضرب $x$ في $x^{7}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.2.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{7}) + x^{7} \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.2.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 x^{1 + 7} + x^{7} \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.2.2.3

أضف $1$ و $7$ .

$\frac{2 x^{8} + x^{7} \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.2.3

انقُل $- 3$ إلى يسار $x^{7}$ .

$\frac{2 x^{8} - 3 \cdot x^{7} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3 - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.2.4

اضرب $2$ في $- 2$ .

$\frac{2 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x - 2 \cdot - 3 - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.2.5

اضرب $- 2$ في $- 3$ .

$\frac{2 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x + 6 - 7 x^{2} x^{6} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.3

اضرب $x^{2}$ في $x^{6}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.3.1

انقُل $x^{6}$ .

$\frac{2 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x + 6 - 7 (x^{6} x^{2}) - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.3.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x + 6 - 7 x^{6 + 2} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.3.3

أضف $6$ و $2$ .

$\frac{2 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x + 6 - 7 x^{8} - 7 (- 3 x) x^{6} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.4

اضرب $x$ في $x^{6}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.4.1

انقُل $x^{6}$ .

$\frac{2 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x + 6 - 7 x^{8} - 7 (- 3 (x^{6} x)) - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.4.2

اضرب $x^{6}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.4.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x + 6 - 7 x^{8} - 7 (- 3 (x^{6} x^{1})) - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.4.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x + 6 - 7 x^{8} - 7 (- 3 x^{6 + 1}) - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.4.3

أضف $6$ و $1$ .

$\frac{2 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x + 6 - 7 x^{8} - 7 (- 3 x^{7}) - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.5

اضرب $- 3$ في $- 7$ .

$\frac{2 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x + 6 - 7 x^{8} + 21 x^{7} - 7 \cdot 2 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.6

اضرب $- 7$ في $2$ .

$\frac{2 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x + 6 - 7 x^{8} + 21 x^{7} - 14 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.2

اطرح $7 x^{8}$ من $2 x^{8}$ .

$\frac{- 5 x^{8} - 3 x^{7} - 4 x + 6 + 21 x^{7} - 14 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.3.3

أضف $- 3 x^{7}$ و $21 x^{7}$ .

$\frac{- 5 x^{8} + 18 x^{7} - 4 x + 6 - 14 x^{6}}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- 5 x^{8} + 18 x^{7} - 14 x^{6} - 4 x + 6}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- 5 x^{8}$ .

$\frac{- (5 x^{8}) + 18 x^{7} - 14 x^{6} - 4 x + 6}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.6

أخرِج العامل $- 1$ من $18 x^{7}$ .

$\frac{- (5 x^{8}) - (- 18 x^{7}) - 14 x^{6} - 4 x + 6}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- (5 x^{8}) - (- 18 x^{7})$ .

$\frac{- (5 x^{8} - 18 x^{7}) - 14 x^{6} - 4 x + 6}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- 14 x^{6}$ .

$\frac{- (5 x^{8} - 18 x^{7}) - (14 x^{6}) - 4 x + 6}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.9

أخرِج العامل $- 1$ من $- (5 x^{8} - 18 x^{7}) - (14 x^{6})$ .

$\frac{- (5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6}) - 4 x + 6}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.10

أخرِج العامل $- 1$ من $- 4 x$ .

$\frac{- (5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6}) - (4 x) + 6}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.11

أخرِج العامل $- 1$ من $- (5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6}) - (4 x)$ .

$\frac{- (5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6} + 4 x) + 6}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.12

أعِد كتابة $6$ بالصيغة $- 1 (- 6)$ .

$\frac{- (5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6} + 4 x) - 1 (- 6)}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.13

أخرِج العامل $- 1$ من $- (5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6} + 4 x) - 1 (- 6)$ .

$\frac{- (5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6} + 4 x - 6)}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.14

أعِد كتابة $- (5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6} + 4 x - 6)$ بالصيغة $- 1 (5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6} + 4 x - 6)$ .

$\frac{- 1 (5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6} + 4 x - 6)}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$

خطوة 3.15

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{5 x^{8} - 18 x^{7} + 14 x^{6} + 4 x - 6}{{(x^{7} - 2)}^{2}}$