حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x)$

خطوة 1.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x)$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 6 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (9 x)$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (9 x)$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $2$ في $- 6$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} (9 x)$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $9 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9 \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9 \cdot 1$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $9$ في $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $3 x^{2} - 12 x + 9$ .

$3 x^{2} - 12 x + 9$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $3 x^{2} - 12 x + 9 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$3 x^{2} - 12 x + 9 = 0$

خطوة 2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3 x^{2} - 12 x + 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أخرِج العامل $3$ من $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 12 x + 9 = 0$

خطوة 2.2.1.2

أخرِج العامل $3$ من $- 12 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 4 x) + 9 = 0$

خطوة 2.2.1.3

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 3 = 0$

خطوة 2.2.1.4

أخرِج العامل $3$ من $3 x^{2} + 3 (- 4 x)$ .

$3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot 3 = 0$

خطوة 2.2.1.5

أخرِج العامل $3$ من $3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot 3$ .

$3 (x^{2} - 4 x + 3) = 0$

خطوة 2.2.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

حلّل $x^{2} - 4 x + 3$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $3$ ومجموعهما $- 4$ .

$- 3, - 1$

خطوة 2.2.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$3 ((x - 3) (x - 1)) = 0$

خطوة 2.2.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$3 (x - 3) (x - 1) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة العبارة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عيّن قيمة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 3 = 0$

خطوة 2.4.2

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 3$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 2.5.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $3 (x - 3) (x - 1) = 0$ صحيحة.

$x = 3, 1$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $3, 1$ .

$3, 1$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, 1) \cup (1, 3) \cup (3, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 1)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f' (0) = 3 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 9$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f' (0) = 3 \cdot 0 - 12 \cdot 0 + 9$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $3$ في $0$ .

$f' (0) = 0 - 12 \cdot 0 + 9$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $- 12$ في $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 9$

خطوة 5.2.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$f' (0) = 0 + 9$

خطوة 5.2.2.2

أضف $0$ و $9$ .

$f' (0) = 9$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $9$ .

$9$

خطوة 5.3

المشتق في $x = 0$ هو $9$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- \infty, 1)$ .

تزايد خلال $(- \infty, 1)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(1, 3)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f' (2) = 3 {(2)}^{2} - 12 \cdot 2 + 9$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f' (2) = 3 \cdot 4 - 12 \cdot 2 + 9$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $3$ في $4$ .

$f' (2) = 12 - 12 \cdot 2 + 9$

خطوة 6.2.1.3

اضرب $- 12$ في $2$ .

$f' (2) = 12 - 24 + 9$

خطوة 6.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اطرح $24$ من $12$ .

$f' (2) = - 12 + 9$

خطوة 6.2.2.2

أضف $- 12$ و $9$ .

$f' (2) = - 3$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 3$ .

$- 3$

خطوة 6.3

المشتق في $x = 2$ هو $- 3$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(1, 3)$ .

تناقص خلال $(1, 3)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(3, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $4$ في العبارة.

$f' (4) = 3 {(4)}^{2} - 12 \cdot 4 + 9$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$f' (4) = 3 \cdot 16 - 12 \cdot 4 + 9$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $3$ في $16$ .

$f' (4) = 48 - 12 \cdot 4 + 9$

خطوة 7.2.1.3

اضرب $- 12$ في $4$ .

$f' (4) = 48 - 48 + 9$

خطوة 7.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

اطرح $48$ من $48$ .

$f' (4) = 0 + 9$

خطوة 7.2.2.2

أضف $0$ و $9$ .

$f' (4) = 9$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $9$ .

$9$

خطوة 7.3

المشتق في $x = 4$ هو $9$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(3, \infty)$ .

تزايد خلال $(3, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 8

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- \infty, 1), (3, \infty)$

تناقص خلال: $(1, 3)$

خطوة 9