حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(3 x^{3} + 1) {(- 4 x^{2} - 3)}^{4}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = 3 x^{3} + 1$ و $g (x) = {(- 4 x^{2} - 3)}^{4}$ .

$(3 x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [{(- 4 x^{2} - 3)}^{4}] + {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 1]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = - 4 x^{2} - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- 4 x^{2} - 3$ .

$(3 x^{3} + 1) (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [- 4 x^{2} - 3]) + {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 1]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$(3 x^{3} + 1) (4 u^{3} \frac{d}{d x} [- 4 x^{2} - 3]) + {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 1]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- 4 x^{2} - 3$ .

$(3 x^{3} + 1) (4 {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [- 4 x^{2} - 3]) + {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 1]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل $4$ إلى يسار $3 x^{3} + 1$ .

$4 \cdot (3 x^{3} + 1) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [- 4 x^{2} - 3] + {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 1]$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 4 x^{2} - 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$4 (3 x^{3} + 1) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 1]$

خطوة 3.3

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 (3 x^{3} + 1) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} (- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 1]$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 (3 x^{3} + 1) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} (- 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 1]$

خطوة 3.5

اضرب $2$ في $- 4$ .

$4 (3 x^{3} + 1) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} (- 8 x + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 1]$

خطوة 3.6

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 (3 x^{3} + 1) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} (- 8 x + 0) + {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 1]$

خطوة 3.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

أضف $- 8 x$ و $0$ .

$4 (3 x^{3} + 1) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} (- 8 x) + {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 1]$

خطوة 3.7.2

اضرب $- 8$ في $4$ .

$- 32 (3 x^{3} + 1) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x + {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 1]$

خطوة 3.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{3} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 32 (3 x^{3} + 1) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x + {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 3.9

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 32 (3 x^{3} + 1) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x + {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 3.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$- 32 (3 x^{3} + 1) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x + {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 3.11

اضرب $3$ في $3$ .

$- 32 (3 x^{3} + 1) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x + {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 3.12

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 32 (3 x^{3} + 1) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x + {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} (9 x^{2} + 0)$

خطوة 3.13

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.13.1

أضف $9 x^{2}$ و $0$ .

$- 32 (3 x^{3} + 1) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x + {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} (9 x^{2})$

خطوة 3.13.2

انقُل $9$ إلى يسار ${(- 4 x^{2} - 3)}^{4}$ .

$- 32 (3 x^{3} + 1) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x + 9 \cdot {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} x^{2}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(- 32 (3 x^{3}) - 32 \cdot 1) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x + 9 {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} x^{2}$

خطوة 4.2

اضرب $3$ في $- 32$ .

$(- 96 x^{3} - 32 \cdot 1) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x + 9 {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} x^{2}$

خطوة 4.3

اضرب $- 32$ في $1$ .

$(- 96 x^{3} - 32) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x + 9 {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} x^{2}$

خطوة 4.4

أخرِج العامل ${(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x$ من $(- 96 x^{3} - 32) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x + 9 {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

أخرِج العامل ${(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x$ من $(- 96 x^{3} - 32) {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x$ .

${(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x (- 96 x^{3} - 32) + 9 {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} x^{2}$

خطوة 4.4.2

أخرِج العامل ${(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x$ من $9 {(- 4 x^{2} - 3)}^{4} x^{2}$ .

${(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x (- 96 x^{3} - 32) + {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x (9 (- 4 x^{2} - 3) x)$

خطوة 4.4.3

أخرِج العامل ${(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x$ من ${(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x (- 96 x^{3} - 32) + {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x (9 (- 4 x^{2} - 3) x)$ .

${(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x (- 96 x^{3} - 32 + 9 (- 4 x^{2} - 3) x)$

خطوة 4.5

أعِد ترتيب عوامل ${(- 4 x^{2} - 3)}^{3} x (- 96 x^{3} - 32 + 9 (- 4 x^{2} - 3) x)$ .

$x {(- 4 x^{2} - 3)}^{3} (- 96 x^{3} - 32 + 9 (- 4 x^{2} - 3) x)$