حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(4 x + 1) {(1 - x)}^{3}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = 4 x + 1$ و $g (x) = {(1 - x)}^{3}$ .

$(4 x + 1) \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{3}] + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = 1 - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $1 - x$ .

$(4 x + 1) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$(4 x + 1) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 - x$ .

$(4 x + 1) (3 {(1 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل $3$ إلى يسار $4 x + 1$ .

$3 \cdot (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - x] + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

خطوة 3.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

خطوة 3.4

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [- x] + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

خطوة 3.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

خطوة 3.6

اضرب $- 1$ في $3$ .

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [x] + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

خطوة 3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} \cdot 1 + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

خطوة 3.8

اضرب $- 3$ في $1$ .

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]$

خطوة 3.9

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 3.10

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 3.11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 3.12

اضرب $4$ في $1$ .

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (4 + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 3.13

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} (4 + 0)$

خطوة 3.14

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.14.1

أضف $4$ و $0$ .

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + {(1 - x)}^{3} \cdot 4$

خطوة 3.14.2

انقُل $4$ إلى يسار ${(1 - x)}^{3}$ .

$- 3 (4 x + 1) {(1 - x)}^{2} + 4 \cdot {(1 - x)}^{3}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(- 3 (4 x) - 3 \cdot 1) {(1 - x)}^{2} + 4 {(1 - x)}^{3}$

خطوة 4.2

اضرب $4$ في $- 3$ .

$(- 12 x - 3 \cdot 1) {(1 - x)}^{2} + 4 {(1 - x)}^{3}$

خطوة 4.3

اضرب $- 3$ في $1$ .

$(- 12 x - 3) {(1 - x)}^{2} + 4 {(1 - x)}^{3}$

خطوة 4.4

أخرِج العامل ${(1 - x)}^{2}$ من $(- 12 x - 3) {(1 - x)}^{2} + 4 {(1 - x)}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

أخرِج العامل ${(1 - x)}^{2}$ من $(- 12 x - 3) {(1 - x)}^{2}$ .

${(1 - x)}^{2} (- 12 x - 3) + 4 {(1 - x)}^{3}$

خطوة 4.4.2

أخرِج العامل ${(1 - x)}^{2}$ من $4 {(1 - x)}^{3}$ .

${(1 - x)}^{2} (- 12 x - 3) + {(1 - x)}^{2} (4 (1 - x))$

خطوة 4.4.3

أخرِج العامل ${(1 - x)}^{2}$ من ${(1 - x)}^{2} (- 12 x - 3) + {(1 - x)}^{2} (4 (1 - x))$ .

${(1 - x)}^{2} (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

خطوة 4.5

أعِد كتابة ${(1 - x)}^{2}$ بالصيغة $(1 - x) (1 - x)$ .

$(1 - x) (1 - x) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

خطوة 4.6

وسّع $(1 - x) (1 - x)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(1 (1 - x) - x (1 - x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

خطوة 4.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$(1 \cdot 1 + 1 (- x) - x (1 - x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

خطوة 4.6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$(1 \cdot 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

خطوة 4.7

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1.1

اضرب $1$ في $1$ .

$(1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

خطوة 4.7.1.2

اضرب $- x$ في $1$ .

$(1 - x - x \cdot 1 - x (- x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

خطوة 4.7.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$(1 - x - x - x (- x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

خطوة 4.7.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$(1 - x - x - 1 \cdot - 1 x \cdot x) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

خطوة 4.7.1.5

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1.5.1

انقُل $x$ .

$(1 - x - x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

خطوة 4.7.1.5.2

اضرب $x$ في $x$ .

$(1 - x - x - 1 \cdot - 1 x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

خطوة 4.7.1.6

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$(1 - x - x + 1 x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

خطوة 4.7.1.7

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$(1 - x - x + x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

خطوة 4.7.2

اطرح $x$ من $- x$ .

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 (1 - x))$

خطوة 4.8

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 \cdot 1 + 4 (- x))$

خطوة 4.8.2

اضرب $4$ في $1$ .

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 + 4 (- x))$

خطوة 4.8.3

اضرب $- 1$ في $4$ .

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 12 x - 3 + 4 - 4 x)$

خطوة 4.9

اطرح $4 x$ من $- 12 x$ .

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 16 x - 3 + 4)$

خطوة 4.10

أضف $- 3$ و $4$ .

$(1 - 2 x + x^{2}) (- 16 x + 1)$

خطوة 4.11

وسّع $(1 - 2 x + x^{2}) (- 16 x + 1)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$1 (- 16 x) + 1 \cdot 1 - 2 x (- 16 x) - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

خطوة 4.12

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.1

اضرب $- 16 x$ في $1$ .

$- 16 x + 1 \cdot 1 - 2 x (- 16 x) - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

خطوة 4.12.2

اضرب $1$ في $1$ .

$- 16 x + 1 - 2 x (- 16 x) - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

خطوة 4.12.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- 16 x + 1 - 2 \cdot - 16 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

خطوة 4.12.4

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.4.1

انقُل $x$ .

$- 16 x + 1 - 2 \cdot - 16 (x \cdot x) - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

خطوة 4.12.4.2

اضرب $x$ في $x$ .

$- 16 x + 1 - 2 \cdot - 16 x^{2} - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

خطوة 4.12.5

اضرب $- 2$ في $- 16$ .

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x \cdot 1 + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

خطوة 4.12.6

اضرب $- 2$ في $1$ .

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x + x^{2} (- 16 x) + x^{2} \cdot 1$

خطوة 4.12.7

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x - 16 x^{2} x + x^{2} \cdot 1$

خطوة 4.12.8

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.8.1

انقُل $x$ .

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x - 16 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 1$

خطوة 4.12.8.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.8.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x - 16 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 1$

خطوة 4.12.8.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x - 16 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 1$

خطوة 4.12.8.3

أضف $1$ و $2$ .

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x - 16 x^{3} + x^{2} \cdot 1$

خطوة 4.12.9

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$- 16 x + 1 + 32 x^{2} - 2 x - 16 x^{3} + x^{2}$

خطوة 4.13

اطرح $2 x$ من $- 16 x$ .

$- 18 x + 1 + 32 x^{2} - 16 x^{3} + x^{2}$

خطوة 4.14

أضف $32 x^{2}$ و $x^{2}$ .

$- 18 x + 1 - 16 x^{3} + 33 x^{2}$