حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(x^{2} - 8 x + 8) e^{\frac{9 x}{8}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2} - 8 x + 8$ و $g (x) = e^{\frac{9 x}{8}}$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) \frac{d}{d x} [e^{\frac{9 x}{8}}] + e^{\frac{9 x}{8}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 8]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = \frac{9 x}{8}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{9 x}{8}$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{9 x}{8}]) + e^{\frac{9 x}{8}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 8]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{9 x}{8}]) + e^{\frac{9 x}{8}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 8]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{9 x}{8}$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) (e^{\frac{9 x}{8}} \frac{d}{d x} [\frac{9 x}{8}]) + e^{\frac{9 x}{8}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 8]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $\frac{9}{8}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{9 x}{8}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{9}{8} \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) e^{\frac{9 x}{8}} (\frac{9}{8} \frac{d}{d x} [x]) + e^{\frac{9 x}{8}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 8]$

خطوة 3.2

اجمع $\frac{9}{8}$ و $e^{\frac{9 x}{8}}$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} \frac{d}{d x} [x] + e^{\frac{9 x}{8}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 8]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} \cdot 1 + e^{\frac{9 x}{8}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 8]$

خطوة 3.4

اضرب $x^{2} - 8 x + 8$ في $1$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 8]$

خطوة 3.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 8 x + 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [8])$

خطوة 3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [8])$

خطوة 3.7

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 8 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])$

خطوة 3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8])$

خطوة 3.9

اضرب $- 8$ في $1$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x - 8 + \frac{d}{d x} [8])$

خطوة 3.10

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x - 8 + 0)$

خطوة 3.11

أضف $2 x - 8$ و $0$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x - 8)$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} - 8 x \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + 8 \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x - 8)$

خطوة 4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} - 8 x \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + 8 \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

خطوة 4.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اجمع $x^{2}$ و $\frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8}$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} - 8 x \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + 8 \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

خطوة 4.3.2

اجمع $- 8$ و $\frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8}$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + x \frac{- 8 (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + 8 \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

خطوة 4.3.3

اضرب $9$ في $- 8$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + x \frac{- 72 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + 8 \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

خطوة 4.3.4

اجمع $x$ و $\frac{- 72 e^{\frac{9 x}{8}}}{8}$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + \frac{x (- 72 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + 8 \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

خطوة 4.3.5

احذِف العامل المشترك لـ $- 72$ و $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

أخرِج العامل $8$ من $x (- 72 e^{\frac{9 x}{8}})$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + \frac{8 (x (- 9 e^{\frac{9 x}{8}}))}{8} + 8 \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

خطوة 4.3.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.2.1

أخرِج العامل $8$ من $8$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + \frac{8 (x (- 9 e^{\frac{9 x}{8}}))}{8 (1)} + 8 \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

خطوة 4.3.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + \frac{8 (x (- 9 e^{\frac{9 x}{8}}))}{8 \cdot 1} + 8 \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

خطوة 4.3.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + \frac{x (- 9 e^{\frac{9 x}{8}})}{1} + 8 \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

خطوة 4.3.5.2.4

اقسِم $x (- 9 e^{\frac{9 x}{8}})$ على $1$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + x (- 9 e^{\frac{9 x}{8}}) + 8 \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

خطوة 4.3.6

اجمع $8$ و $\frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8}$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + x (- 9 e^{\frac{9 x}{8}}) + \frac{8 (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

خطوة 4.3.7

اضرب $9$ في $8$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + x (- 9 e^{\frac{9 x}{8}}) + \frac{72 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

خطوة 4.3.8

احذِف العامل المشترك لـ $72$ و $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.8.1

أخرِج العامل $8$ من $72 e^{\frac{9 x}{8}}$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + x (- 9 e^{\frac{9 x}{8}}) + \frac{8 (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

خطوة 4.3.8.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.8.2.1

أخرِج العامل $8$ من $8$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + x (- 9 e^{\frac{9 x}{8}}) + \frac{8 (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8 (1)} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

خطوة 4.3.8.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + x (- 9 e^{\frac{9 x}{8}}) + \frac{8 (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8 \cdot 1} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

خطوة 4.3.8.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + x (- 9 e^{\frac{9 x}{8}}) + \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{1} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

خطوة 4.3.8.2.4

اقسِم $9 e^{\frac{9 x}{8}}$ على $1$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + x (- 9 e^{\frac{9 x}{8}}) + 9 e^{\frac{9 x}{8}} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

خطوة 4.3.9

انقُل $- 8$ إلى يسار $e^{\frac{9 x}{8}}$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + x (- 9 e^{\frac{9 x}{8}}) + 9 e^{\frac{9 x}{8}} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) - 8 \cdot e^{\frac{9 x}{8}}$

خطوة 4.3.10

انقُل $e^{\frac{9 x}{8}}$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} - 9 \cdot x e^{\frac{9 x}{8}} + 2 x e^{\frac{9 x}{8}} + 9 e^{\frac{9 x}{8}} - 8 e^{\frac{9 x}{8}}$

خطوة 4.3.11

أضف $- 9 x e^{\frac{9 x}{8}}$ و $2 x e^{\frac{9 x}{8}}$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} - 7 x e^{\frac{9 x}{8}} + 9 e^{\frac{9 x}{8}} - 8 e^{\frac{9 x}{8}}$

خطوة 4.3.12

اطرح $8 e^{\frac{9 x}{8}}$ من $9 e^{\frac{9 x}{8}}$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} - 7 x e^{\frac{9 x}{8}} + e^{\frac{9 x}{8}}$

خطوة 4.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} - 7 e^{\frac{9 x}{8}} x + e^{\frac{9 x}{8}}$

خطوة 4.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1.1

أعِد الكتابة.

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} - 7 e^{\frac{9 x}{8}} x + e^{\frac{9 x}{8}}$

خطوة 4.5.1.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$\frac{x^{2} \cdot 9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} - 7 e^{\frac{9 x}{8}} x + e^{\frac{9 x}{8}}$

خطوة 4.5.2

انقُل $9$ إلى يسار $x^{2}$ .

$\frac{9 x^{2} e^{\frac{9 x}{8}}}{8} - 7 e^{\frac{9 x}{8}} x + e^{\frac{9 x}{8}}$

خطوة 4.6

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{9 x^{2} e^{\frac{9 x}{8}}}{8} - 7 e^{\frac{9 x}{8}} x + e^{\frac{9 x}{8}}$ .

$\frac{9 x^{2} e^{\frac{9 x}{8}}}{8} - 7 x e^{\frac{9 x}{8}} + e^{\frac{9 x}{8}}$