حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$p (t) = \frac{\sqrt{t}}{t - 1}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{t}$ في صورة $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{t^{\frac{1}{2}}}{t - 1}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ هو $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ حيث $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ و $g (t) = t - 1$ .

$\frac{(t - 1) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(t - 1) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

خطوة 4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(t - 1) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

خطوة 5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(t - 1) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

خطوة 6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{(t - 1) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

خطوة 7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{(t - 1) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

خطوة 7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{(t - 1) (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

خطوة 8

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{(t - 1) (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

خطوة 8.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(t - 1) \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2} - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

خطوة 8.3

انقُل $t^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(t - 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t - 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{(t - 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(t - 1)}^{2}}$

خطوة 10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(t - 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(t - 1)}^{2}}$

خطوة 11

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$\frac{(t - 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} (1 + 0)}{{(t - 1)}^{2}}$

خطوة 12

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{(t - 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{{(t - 1)}^{2}}$

خطوة 12.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{(t - 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}}}{{(t - 1)}^{2}}$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{t \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}}}{{(t - 1)}^{2}}$

خطوة 13.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1.1

اجمع $t$ و $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{t}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}}}{{(t - 1)}^{2}}$

خطوة 13.2.1.2

انقُل $t^{\frac{1}{2}}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\frac{t \cdot t^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}}}{{(t - 1)}^{2}}$

خطوة 13.2.1.3

اضرب $t$ في $t^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1.3.1

اضرب $t$ في $t^{- \frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1.3.1.1

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{t^{1} t^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}}}{{(t - 1)}^{2}}$

خطوة 13.2.1.3.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\frac{t^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}}}{{(t - 1)}^{2}}$

خطوة 13.2.1.3.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{\frac{t^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}}}{{(t - 1)}^{2}}$

خطوة 13.2.1.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{t^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}}}{{(t - 1)}^{2}}$

خطوة 13.2.1.3.4

اطرح $1$ من $2$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}}}{{(t - 1)}^{2}}$

خطوة 13.2.1.4

أعِد كتابة $- 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ بالصيغة $- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}}}{{(t - 1)}^{2}}$

خطوة 13.2.2

لكتابة $- t^{\frac{1}{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} - t^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

خطوة 13.2.3

اجمع $- t^{\frac{1}{2}}$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- t^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

خطوة 13.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

خطوة 13.2.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.5.1.1

أخرِج العامل $t^{\frac{1}{2}}$ من $t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.5.1.1.1

انقُل $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 2 t^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

خطوة 13.2.5.1.1.2

اضرب في $1$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - 1 \cdot 2 t^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

خطوة 13.2.5.1.1.3

أخرِج العامل $t^{\frac{1}{2}}$ من $- 1 \cdot 2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 2)}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

خطوة 13.2.5.1.1.4

أخرِج العامل $t^{\frac{1}{2}}$ من $t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 - 1 \cdot 2)}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

خطوة 13.2.5.1.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 - 2)}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

خطوة 13.2.5.1.3

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

خطوة 13.2.5.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{- 1 \cdot t^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

خطوة 13.2.5.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{- \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

خطوة 13.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.1.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{- (\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}) - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

خطوة 13.3.1.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- (\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}) - (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}})}{{(t - 1)}^{2}}$

خطوة 13.3.1.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}) - (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{- (\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}})}{{(t - 1)}^{2}}$

خطوة 13.3.2

لكتابة $\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{t^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- (\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{t^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}})}{{(t - 1)}^{2}}$

خطوة 13.3.3

اضرب $\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}$ في $\frac{t^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- (\frac{t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}})}{{(t - 1)}^{2}}$

خطوة 13.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- \frac{t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

خطوة 13.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.5.1

اضرب $t^{\frac{1}{2}}$ في $t^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.5.1.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- \frac{t^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

خطوة 13.3.5.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- \frac{t^{\frac{1 + 1}{2}} + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

خطوة 13.3.5.1.3

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{- \frac{t^{\frac{2}{2}} + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

خطوة 13.3.5.1.4

اقسِم $2$ على $2$ .

$\frac{- \frac{t^{1} + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

خطوة 13.3.5.2

بسّط $t^{1}$ .

$\frac{- \frac{t + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

خطوة 13.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- \frac{t + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(t - 1)}^{2}}$

خطوة 13.5

اضرب $\frac{1}{{(t - 1)}^{2}}$ في $\frac{t + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{t + 1}{{(t - 1)}^{2} (2 t^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 13.6

انقُل $2$ إلى يسار ${(t - 1)}^{2}$ .

$- \frac{t + 1}{2 \cdot {(t - 1)}^{2} t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 13.7

أعِد ترتيب العوامل في $- \frac{t + 1}{2 {(t - 1)}^{2} t^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{t + 1}{2 t^{\frac{1}{2}} {(t - 1)}^{2}}$