حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 3 x^{2} - 12 x - 8$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{2} - 12 x - 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $2$ في $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 12 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $- 12$ في $1$ .

$6 x - 12 + \frac{d}{d x} [- 8]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$6 x - 12 + 0$

خطوة 1.1.4.2

أضف $6 x - 12$ و $0$ .

$f' (x) = 6 x - 12$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $6 x - 12$ .

$6 x - 12$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $6 x - 12 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$6 x - 12 = 0$

خطوة 2.2

أضف $12$ إلى كلا المتعادلين.

$6 x = 12$

خطوة 2.3

اقسِم كل حد في $6 x = 12$ على $6$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اقسِم كل حد في $6 x = 12$ على $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{12}{6}$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{6 x}{6} = \frac{12}{6}$

خطوة 2.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{12}{6}$

خطوة 2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اقسِم $12$ على $6$ .

$x = 2$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $2$ .

$2$

خطوة 4

بعد إيجاد النقطة التي تجعل المشتق $f' (x) = 6 x - 12$ مساويًا لـ $0$ أو غير معرف، تكون الفترة اللازمة للتحقق من أين تتزايد وأين تتناقص $f (x) = 3 x^{2} - 12 x - 8$ هو $(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$ .

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 2)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f' (1) = 6 (1) - 12$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اضرب $6$ في $1$ .

$f' (1) = 6 - 12$

خطوة 5.2.2

اطرح $12$ من $6$ .

$f' (1) = - 6$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $- 6$ .

$- 6$

خطوة 5.3

المشتق في $x = 1$ هو $- 6$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, 2)$ .

تناقص خلال $(- \infty, 2)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(2, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$f' (3) = 6 (3) - 12$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $6$ في $3$ .

$f' (3) = 18 - 12$

خطوة 6.2.2

اطرح $12$ من $18$ .

$f' (3) = 6$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $6$ .

$6$

خطوة 6.3

المشتق في $x = 3$ هو $6$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(2, \infty)$ .

تزايد خلال $(2, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 7

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(2, \infty)$

تناقص خلال: $(- \infty, 2)$

خطوة 8