حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{3 t - 7}{t^{2} + 5 t - 4}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ هو $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ حيث $f (t) = 3 t - 7$ و $g (t) = t^{2} + 5 t - 4$ .

$\frac{(t^{2} + 5 t - 4) \frac{d}{d t} [3 t - 7] - (3 t - 7) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 4]}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 t - 7$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 7]$ .

$\frac{(t^{2} + 5 t - 4) (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 7]) - (3 t - 7) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 4]}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

خطوة 2.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $3 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(t^{2} + 5 t - 4) (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 7]) - (3 t - 7) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 4]}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(t^{2} + 5 t - 4) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 7]) - (3 t - 7) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 4]}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

خطوة 2.4

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{(t^{2} + 5 t - 4) (3 + \frac{d}{d t} [- 7]) - (3 t - 7) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 4]}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

خطوة 2.5

بما أن $- 7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $- 7$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$\frac{(t^{2} + 5 t - 4) (3 + 0) - (3 t - 7) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 4]}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

خطوة 2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

أضف $3$ و $0$ .

$\frac{(t^{2} + 5 t - 4) \cdot 3 - (3 t - 7) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 4]}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

خطوة 2.6.2

انقُل $3$ إلى يسار $t^{2} + 5 t - 4$ .

$\frac{3 \cdot (t^{2} + 5 t - 4) - (3 t - 7) \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 4]}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

خطوة 2.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t^{2} + 5 t - 4$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 4]$ .

$\frac{3 (t^{2} + 5 t - 4) - (3 t - 7) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 4])}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

خطوة 2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{3 (t^{2} + 5 t - 4) - (3 t - 7) (2 t + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 4])}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

خطوة 2.9

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $5 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{3 (t^{2} + 5 t - 4) - (3 t - 7) (2 t + 5 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 4])}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

خطوة 2.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{3 (t^{2} + 5 t - 4) - (3 t - 7) (2 t + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 4])}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

خطوة 2.11

اضرب $5$ في $1$ .

$\frac{3 (t^{2} + 5 t - 4) - (3 t - 7) (2 t + 5 + \frac{d}{d t} [- 4])}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

خطوة 2.12

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$\frac{3 (t^{2} + 5 t - 4) - (3 t - 7) (2 t + 5 + 0)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

خطوة 2.13

أضف $2 t + 5$ و $0$ .

$\frac{3 (t^{2} + 5 t - 4) - (3 t - 7) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 t^{2} + 3 (5 t) + 3 \cdot - 4 - (3 t - 7) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

خطوة 3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 t^{2} + 3 (5 t) + 3 \cdot - 4 + (- (3 t) - - 7) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

خطوة 3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

اضرب $5$ في $3$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t + 3 \cdot - 4 + (- (3 t) - - 7) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.2

اضرب $3$ في $- 4$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 + (- (3 t) - - 7) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.3.1

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 + (- 3 t - - 7) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.3.2

اضرب $- 1$ في $- 7$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 + (- 3 t + 7) (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.4

وسّع $(- 3 t + 7) (2 t + 5)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 - 3 t (2 t + 5) + 7 (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 - 3 t (2 t) - 3 t \cdot 5 + 7 (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 - 3 t (2 t) - 3 t \cdot 5 + 7 (2 t) + 7 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.5

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.5.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 - 3 \cdot 2 t \cdot t - 3 t \cdot 5 + 7 (2 t) + 7 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.5.1.2

اضرب $t$ في $t$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.5.1.2.1

انقُل $t$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 - 3 \cdot 2 (t \cdot t) - 3 t \cdot 5 + 7 (2 t) + 7 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.5.1.2.2

اضرب $t$ في $t$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 - 3 \cdot 2 t^{2} - 3 t \cdot 5 + 7 (2 t) + 7 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.5.1.3

اضرب $- 3$ في $2$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 - 6 t^{2} - 3 t \cdot 5 + 7 (2 t) + 7 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.5.1.4

اضرب $5$ في $- 3$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 - 6 t^{2} - 15 t + 7 (2 t) + 7 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.5.1.5

اضرب $2$ في $7$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 - 6 t^{2} - 15 t + 14 t + 7 \cdot 5}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.5.1.6

اضرب $7$ في $5$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 - 6 t^{2} - 15 t + 14 t + 35}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.5.2

أضف $- 15 t$ و $14 t$ .

$\frac{3 t^{2} + 15 t - 12 - 6 t^{2} - t + 35}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

خطوة 3.3.2

اطرح $6 t^{2}$ من $3 t^{2}$ .

$\frac{- 3 t^{2} + 15 t - 12 - t + 35}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

خطوة 3.3.3

اطرح $t$ من $15 t$ .

$\frac{- 3 t^{2} + 14 t - 12 + 35}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

خطوة 3.3.4

أضف $- 12$ و $35$ .

$\frac{- 3 t^{2} + 14 t + 23}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

خطوة 3.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- 3 t^{2}$ .

$\frac{- (3 t^{2}) + 14 t + 23}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

خطوة 3.5

أخرِج العامل $- 1$ من $14 t$ .

$\frac{- (3 t^{2}) - (- 14 t) + 23}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

خطوة 3.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (3 t^{2}) - (- 14 t)$ .

$\frac{- (3 t^{2} - 14 t) + 23}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

خطوة 3.7

أعِد كتابة $23$ بالصيغة $- 1 (- 23)$ .

$\frac{- (3 t^{2} - 14 t) - 1 (- 23)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

خطوة 3.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- (3 t^{2} - 14 t) - 1 (- 23)$ .

$\frac{- (3 t^{2} - 14 t - 23)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

خطوة 3.9

أعِد كتابة $- (3 t^{2} - 14 t - 23)$ بالصيغة $- 1 (3 t^{2} - 14 t - 23)$ .

$\frac{- 1 (3 t^{2} - 14 t - 23)}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$

خطوة 3.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{3 t^{2} - 14 t - 23}{{(t^{2} + 5 t - 4)}^{2}}$