حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$h (u) = u^{3} {(9 u^{2} - 6)}^{4}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [f (u) g (u)]$ هو $f (u) \frac{d}{d u} [g (u)] + g (u) \frac{d}{d u} [f (u)]$ حيث $f (u) = u^{3}$ و $g (u) = {(9 u^{2} - 6)}^{4}$ .

$u^{3} \frac{d}{d u} [{(9 u^{2} - 6)}^{4}] + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ هو $f' (g (u)) g' (u)$ حيث $f (u) = u^{4}$ و $g (u) = 9 u^{2} - 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $9 u^{2} - 6$ .

$u^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d u} [9 u^{2} - 6]) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$u^{3} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d u} [9 u^{2} - 6]) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $9 u^{2} - 6$ .

$u^{3} (4 {(9 u^{2} - 6)}^{3} \frac{d}{d u} [9 u^{2} - 6]) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $9 u^{2} - 6$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{d}{d u} [9 u^{2}] + \frac{d}{d u} [- 6]$ .

$u^{3} (4 {(9 u^{2} - 6)}^{3} (\frac{d}{d u} [9 u^{2}] + \frac{d}{d u} [- 6])) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

خطوة 3.2

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، إذن مشتق $9 u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $9 \frac{d}{d u} [u^{2}]$ .

$u^{3} (4 {(9 u^{2} - 6)}^{3} (9 \frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [- 6])) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$u^{3} (4 {(9 u^{2} - 6)}^{3} (9 (2 u) + \frac{d}{d u} [- 6])) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

خطوة 3.4

اضرب $2$ في $9$ .

$u^{3} (4 {(9 u^{2} - 6)}^{3} (18 u + \frac{d}{d u} [- 6])) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

خطوة 3.5

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، فإن مشتق $- 6$ بالنسبة إلى $u$ هو $0$ .

$u^{3} (4 {(9 u^{2} - 6)}^{3} (18 u + 0)) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

خطوة 3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أضف $18 u$ و $0$ .

$u^{3} (4 {(9 u^{2} - 6)}^{3} (18 u)) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

خطوة 3.6.2

اضرب $18$ في $4$ .

$u^{3} (72 {(9 u^{2} - 6)}^{3} u) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

خطوة 4

اضرب $u^{3}$ في $u$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل $u$ .

$u \cdot u^{3} (72 {(9 u^{2} - 6)}^{3}) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

خطوة 4.2

اضرب $u$ في $u^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$u^{1} u^{3} (72 {(9 u^{2} - 6)}^{3}) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

خطوة 4.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$u^{1 + 3} (72 {(9 u^{2} - 6)}^{3}) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

خطوة 4.3

أضف $1$ و $3$ .

$u^{4} (72 {(9 u^{2} - 6)}^{3}) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} \frac{d}{d u} [u^{3}]$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$u^{4} (72 {(9 u^{2} - 6)}^{3}) + {(9 u^{2} - 6)}^{4} (3 u^{2})$

خطوة 6

انقُل $3$ إلى يسار ${(9 u^{2} - 6)}^{4}$ .

$u^{4} (72 {(9 u^{2} - 6)}^{3}) + 3 \cdot {(9 u^{2} - 6)}^{4} u^{2}$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أخرِج العامل $u^{2} \cdot 3 {(9 u^{2} - 6)}^{3}$ من $u^{4} (72 {(9 u^{2} - 6)}^{3}) + 3 {(9 u^{2} - 6)}^{4} u^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أخرِج العامل $u^{2} \cdot 3 {(9 u^{2} - 6)}^{3}$ من $u^{4} (72 {(9 u^{2} - 6)}^{3})$ .

$u^{2} \cdot 3 {(9 u^{2} - 6)}^{3} (u^{2} \cdot (24)) + 3 {(9 u^{2} - 6)}^{4} u^{2}$

خطوة 7.1.2

أخرِج العامل $u^{2} \cdot 3 {(9 u^{2} - 6)}^{3}$ من $3 {(9 u^{2} - 6)}^{4} u^{2}$ .

$u^{2} \cdot 3 {(9 u^{2} - 6)}^{3} (u^{2} \cdot (24)) + u^{2} \cdot 3 {(9 u^{2} - 6)}^{3} (9 u^{2} - 6)$

خطوة 7.1.3

أخرِج العامل $u^{2} \cdot 3 {(9 u^{2} - 6)}^{3}$ من $u^{2} \cdot 3 {(9 u^{2} - 6)}^{3} (u^{2} \cdot (24)) + u^{2} \cdot 3 {(9 u^{2} - 6)}^{3} (9 u^{2} - 6)$ .

$u^{2} \cdot 3 {(9 u^{2} - 6)}^{3} (u^{2} \cdot (24) + 9 u^{2} - 6)$

خطوة 7.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

انقُل $3$ إلى يسار $u^{2}$ .

$3 \cdot u^{2} {(9 u^{2} - 6)}^{3} (u^{2} \cdot (24) + 9 u^{2} - 6)$

خطوة 7.2.2

انقُل $24$ إلى يسار $u^{2}$ .

$3 u^{2} {(9 u^{2} - 6)}^{3} (24 \cdot u^{2} + 9 u^{2} - 6)$

خطوة 7.2.3

أضف $24 u^{2}$ و $9 u^{2}$ .

$3 u^{2} {(9 u^{2} - 6)}^{3} (33 u^{2} - 6)$