حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$e^{4 x} + e^{- x}$

خطوة 1

اكتب $e^{4 x} + e^{- x}$ في صورة دالة.

$f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$

خطوة 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{4 x} + e^{- x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 2.1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 2.1.1.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 2.1.1.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $4 x$ .

$e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 2.1.1.2.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 2.1.1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 2.1.1.2.4

اضرب $4$ في $1$ .

$e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 2.1.1.2.5

انقُل $4$ إلى يسار $e^{4 x}$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 2.1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $- x$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 2.1.1.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$4 e^{4 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 2.1.1.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $- x$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 2.1.1.3.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.1.1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

خطوة 2.1.1.3.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} \cdot - 1$

خطوة 2.1.1.3.5

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$4 e^{4 x} - 1 \cdot e^{- x}$

خطوة 2.1.1.3.6

أعِد كتابة $- 1 e^{- x}$ بالصيغة $- e^{- x}$ .

$f' (x) = 4 e^{4 x} - e^{- x}$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 e^{4 x} - e^{- x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

خطوة 2.1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 e^{4 x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 e^{4 x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

خطوة 2.1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $4 x$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

خطوة 2.1.2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$4 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

خطوة 2.1.2.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $4 x$ .

$4 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

خطوة 2.1.2.2.3

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

خطوة 2.1.2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

خطوة 2.1.2.2.5

اضرب $4$ في $1$ .

$4 (e^{4 x} \cdot 4) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

خطوة 2.1.2.2.6

انقُل $4$ إلى يسار $e^{4 x}$ .

$4 (4 \cdot e^{4 x}) + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

خطوة 2.1.2.2.7

اضرب $4$ في $4$ .

$16 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

خطوة 2.1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- e^{- x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$16 e^{4 x} - \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

خطوة 2.1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $- x$ .

$16 e^{4 x} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 2.1.2.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$16 e^{4 x} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 2.1.2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $- x$ .

$16 e^{4 x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 2.1.2.3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$16 e^{4 x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 2.1.2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$16 e^{4 x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

خطوة 2.1.2.3.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$16 e^{4 x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

خطوة 2.1.2.3.6

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$16 e^{4 x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

خطوة 2.1.2.3.7

أعِد كتابة $- 1 e^{- x}$ بالصيغة $- e^{- x}$ .

$16 e^{4 x} - - e^{- x}$

خطوة 2.1.2.3.8

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$16 e^{4 x} + 1 e^{- x}$

خطوة 2.1.2.3.9

اضرب $e^{- x}$ في $1$ .

$f'' (x) = 16 e^{4 x} + e^{- x}$

خطوة 2.1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $16 e^{4 x} + e^{- x}$ .

$16 e^{4 x} + e^{- x}$

خطوة 2.2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $16 e^{4 x} + e^{- x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$16 e^{4 x} + e^{- x} = 0$

خطوة 2.2.2

مثّل كل متعادل بيانيًا. الحل هو قيمة x لنقطة التقاطع.

لا يوجد حل

خطوة 3

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 4

الرسم البياني مقعر لأعلى لأن المشتق الثاني موجب.

الرسم البياني مقعر لأعلى

خطوة 5