حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = t \ln^{2} (t)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ هو $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ حيث $f (t) = t$ و $g (t) = \ln^{2} (t)$ .

$t \frac{d}{d t} [\ln^{2} (t)] + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{2}$ و $g (t) = \ln (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\ln (t)$ .

$t (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [\ln (t)]) + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$t (2 u \frac{d}{d t} [\ln (t)]) + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\ln (t)$ .

$t (2 \ln (t) \frac{d}{d t} [\ln (t)]) + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 3

مشتق $\ln (t)$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $\frac{1}{t}$ .

$t (2 \ln (t) \frac{1}{t}) + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع $\frac{1}{t}$ و $2$ .

$t (\frac{2}{t} \ln (t)) + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 4.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اجمع $\frac{2}{t}$ و $\ln (t)$ .

$t \frac{2 \ln (t)}{t} + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 4.2.2

اجمع $t$ و $\frac{2 \ln (t)}{t}$ .

$\frac{t (2 \ln (t))}{t} + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 4.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{t (2 \ln (t))}{t} + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 4.2.3.2

اقسِم $2 \ln (t)$ على $1$ .

$2 \ln (t) + \ln^{2} (t) \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \ln (t) + \ln^{2} (t) \cdot 1$

خطوة 4.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

اضرب $\ln^{2} (t)$ في $1$ .

$2 \ln (t) + \ln^{2} (t)$

خطوة 4.4.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\ln^{2} (t) + 2 \ln (t)$