حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \ln (| 2 + t - t^{3} |)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = \ln (t)$ و $g (t) = | 2 + t - t^{3} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $| 2 + t - t^{3} |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [| 2 + t - t^{3} |]$

خطوة 1.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [| 2 + t - t^{3} |]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $| 2 + t - t^{3} |$ .

$\frac{1}{| 2 + t - t^{3} |} \frac{d}{d t} [| 2 + t - t^{3} |]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = | t |$ و $g (t) = 2 + t - t^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $2 + t - t^{3}$ .

$\frac{1}{| 2 + t - t^{3} |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d t} [2 + t - t^{3}])$

خطوة 2.2

مشتق $| u_{2} |$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| 2 + t - t^{3} |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d t} [2 + t - t^{3}])$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 + t - t^{3}$ .

$\frac{1}{| 2 + t - t^{3} |} (\frac{2 + t - t^{3}}{| 2 + t - t^{3} |} \frac{d}{d t} [2 + t - t^{3}])$

خطوة 3

اضرب $\frac{2 + t - t^{3}}{| 2 + t - t^{3} |}$ في $\frac{1}{| 2 + t - t^{3} |}$ .

$\frac{2 + t - t^{3}}{| 2 + t - t^{3} | | 2 + t - t^{3} |} \frac{d}{d t} [2 + t - t^{3}]$

خطوة 4

لضرب القيم المطلقة، اضرب الحدود الموجودة داخل كل قيمة مطلقة.

$\frac{2 + t - t^{3}}{| (2 + t - t^{3}) (2 + t - t^{3}) |} \frac{d}{d t} [2 + t - t^{3}]$

خطوة 5

ارفع $2 + t - t^{3}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{1} (2 + t - t^{3}) |} \frac{d}{d t} [2 + t - t^{3}]$

خطوة 6

ارفع $2 + t - t^{3}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{1} {(2 + t - t^{3})}^{1} |} \frac{d}{d t} [2 + t - t^{3}]$

خطوة 7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{1 + 1} |} \frac{d}{d t} [2 + t - t^{3}]$

خطوة 8

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{2} |} \frac{d}{d t} [2 + t - t^{3}]$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 + t - t^{3}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{3}]$ .

$\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{2} |} (\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{3}])$

خطوة 10

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{2} |} (0 + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{3}])$

خطوة 11

أضف $0$ و $\frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{2} |} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{3}])$

خطوة 12

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{2} |} (1 + \frac{d}{d t} [- t^{3}])$

خطوة 13

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- t^{3}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{2} |} (1 - \frac{d}{d t} [t^{3}])$

خطوة 14

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{2} |} (1 - (3 t^{2}))$

خطوة 15

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{2} |} (1 - 3 t^{2})$

خطوة 15.2

أعِد ترتيب عوامل $\frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{2} |} (1 - 3 t^{2})$ .

$(1 - 3 t^{2}) \frac{2 + t - t^{3}}{| {(2 + t - t^{3})}^{2} |}$