حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$v^{2} \sqrt{2 v - 5}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2 v - 5}$ في صورة ${(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d v} [v^{2} {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d v} [f (v) g (v)]$ هو $f (v) \frac{d}{d v} [g (v)] + g (v) \frac{d}{d v} [f (v)]$ حيث $f (v) = v^{2}$ و $g (v) = {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$v^{2} \frac{d}{d v} [{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}] + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ هو $f' (g (v)) g' (v)$ حيث $f (v) = v^{\frac{1}{2}}$ و $g (v) = 2 v - 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 v - 5$ .

$v^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d v} [2 v - 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$v^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [2 v - 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 v - 5$ .

$v^{2} (\frac{1}{2} {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [2 v - 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

خطوة 4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$v^{2} (\frac{1}{2} {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d v} [2 v - 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

خطوة 5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$v^{2} (\frac{1}{2} {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [2 v - 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

خطوة 6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$v^{2} (\frac{1}{2} {(2 v - 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [2 v - 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

خطوة 7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$v^{2} (\frac{1}{2} {(2 v - 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d v} [2 v - 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

خطوة 7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$v^{2} (\frac{1}{2} {(2 v - 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d v} [2 v - 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

خطوة 8

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$v^{2} (\frac{1}{2} {(2 v - 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [2 v - 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

خطوة 8.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(2 v - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$v^{2} (\frac{{(2 v - 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d v} [2 v - 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

خطوة 8.3

انقُل ${(2 v - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$v^{2} (\frac{1}{2 {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d v} [2 v - 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

خطوة 8.4

اجمع $\frac{1}{2 {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ و $v^{2}$ .

$\frac{v^{2}}{2 {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d v} [2 v - 5] + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 v - 5$ بالنسبة إلى $v$ هو $\frac{d}{d v} [2 v] + \frac{d}{d v} [- 5]$ .

$\frac{v^{2}}{2 {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d v} [2 v] + \frac{d}{d v} [- 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

خطوة 10

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $v$ ، إذن مشتق $2 v$ بالنسبة إلى $v$ يساوي $2 \frac{d}{d v} [v]$ .

$\frac{v^{2}}{2 {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

خطوة 11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ هو $n v^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{v^{2}}{2 {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [- 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

خطوة 12

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{v^{2}}{2 {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d v} [- 5]) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

خطوة 13

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $v$ ، فإن مشتق $- 5$ بالنسبة إلى $v$ هو $0$ .

$\frac{v^{2}}{2 {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} (2 + 0) + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

خطوة 14

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

أضف $2$ و $0$ .

$\frac{v^{2}}{2 {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 2 + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

خطوة 14.2

اجمع $\frac{v^{2}}{2 {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ و $2$ .

$\frac{v^{2} \cdot 2}{2 {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

خطوة 14.3

انقُل $2$ إلى يسار $v^{2}$ .

$\frac{2 \cdot v^{2}}{2 {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

خطوة 14.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 v^{2}}{2 {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

خطوة 14.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{v^{2}}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{2}]$

خطوة 15

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ هو $n v^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{v^{2}}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} (2 v)$

خطوة 16

انقُل $2$ إلى يسار ${(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{v^{2}}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} v$

خطوة 17

جمّع $\frac{v^{2}}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ و $2 {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} v$ باستخدام قاسم مشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

انقُل ${(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{v^{2}}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} + 2 v {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 17.2

لكتابة $2 v {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{v^{2}}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 v {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 17.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{v^{2} + 2 v {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 18

اضرب ${(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}$ في ${(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

انقُل ${(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{v^{2} + 2 v ({(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 18.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{v^{2} + 2 v {(2 v - 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 18.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{v^{2} + 2 v {(2 v - 5)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 18.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{v^{2} + 2 v {(2 v - 5)}^{\frac{2}{2}}}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 18.5

اقسِم $2$ على $2$ .

$\frac{v^{2} + 2 v {(2 v - 5)}^{1}}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 19

بسّط $2 v {(2 v - 5)}^{1}$ .

$\frac{v^{2} + 2 v (2 v - 5)}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 20

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{v^{2} + 2 v (2 v) + 2 v \cdot - 5}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 20.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.2.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{v^{2} + 2 \cdot 2 v \cdot v + 2 v \cdot - 5}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 20.2.1.2

اضرب $v$ في $v$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.2.1.2.1

انقُل $v$ .

$\frac{v^{2} + 2 \cdot 2 (v \cdot v) + 2 v \cdot - 5}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 20.2.1.2.2

اضرب $v$ في $v$ .

$\frac{v^{2} + 2 \cdot 2 v^{2} + 2 v \cdot - 5}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 20.2.1.3

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{v^{2} + 4 v^{2} + 2 v \cdot - 5}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 20.2.1.4

اضرب $- 5$ في $2$ .

$\frac{v^{2} + 4 v^{2} - 10 v}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 20.2.2

أضف $v^{2}$ و $4 v^{2}$ .

$\frac{5 v^{2} - 10 v}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 20.3

أخرِج العامل $5 v$ من $5 v^{2} - 10 v$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.3.1

أخرِج العامل $5 v$ من $5 v^{2}$ .

$\frac{5 v (v) - 10 v}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 20.3.2

أخرِج العامل $5 v$ من $- 10 v$ .

$\frac{5 v (v) + 5 v (- 2)}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 20.3.3

أخرِج العامل $5 v$ من $5 v (v) + 5 v (- 2)$ .

$\frac{5 v (v - 2)}{{(2 v - 5)}^{\frac{1}{2}}}$