حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{8}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ هو $f' (g (w)) g' (w)$ حيث $f (w) = w^{8}$ و $g (w) = \frac{1}{w^{3} - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\frac{1}{w^{3} - 1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{8}] \frac{d}{d w} [\frac{1}{w^{3} - 1}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 8$ .

$8 {u_{1}}^{7} \frac{d}{d w} [\frac{1}{w^{3} - 1}]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\frac{1}{w^{3} - 1}$ .

$8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} \frac{d}{d w} [\frac{1}{w^{3} - 1}]$

خطوة 2

أعِد كتابة $\frac{1}{w^{3} - 1}$ بالصيغة ${(w^{3} - 1)}^{- 1}$ .

$8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} \frac{d}{d w} [{(w^{3} - 1)}^{- 1}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ هو $f' (g (w)) g' (w)$ حيث $f (w) = w^{- 1}$ و $g (w) = w^{3} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $w^{3} - 1$ .

$8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d w} [w^{3} - 1])$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d w} [w^{3} - 1])$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $w^{3} - 1$ .

$8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} (- {(w^{3} - 1)}^{- 2} \frac{d}{d w} [w^{3} - 1])$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $- 1$ في $8$ .

$- 8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} ({(w^{3} - 1)}^{- 2} \frac{d}{d w} [w^{3} - 1])$

خطوة 4.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $w^{3} - 1$ بالنسبة إلى $w$ هو $\frac{d}{d w} [w^{3}] + \frac{d}{d w} [- 1]$ .

$- 8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} ({(w^{3} - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d w} [w^{3}] + \frac{d}{d w} [- 1]))$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ هو $n w^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$- 8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} ({(w^{3} - 1)}^{- 2} (3 w^{2} + \frac{d}{d w} [- 1]))$

خطوة 4.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $w$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $w$ هو $0$ .

$- 8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} ({(w^{3} - 1)}^{- 2} (3 w^{2} + 0))$

خطوة 4.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

أضف $3 w^{2}$ و $0$ .

$- 8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} ({(w^{3} - 1)}^{- 2} (3 w^{2}))$

خطوة 4.5.2

انقُل $3$ إلى يسار ${(w^{3} - 1)}^{- 2}$ .

$- 8 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} (3 \cdot {(w^{3} - 1)}^{- 2} w^{2})$

خطوة 4.5.3

اضرب $3$ في $- 8$ .

$- 24 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} ({(w^{3} - 1)}^{- 2} w^{2})$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 24 {(\frac{1}{w^{3} - 1})}^{7} (\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{2}} w^{2})$

خطوة 5.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{w^{3} - 1}$ .

$- 24 \frac{1^{7}}{{(w^{3} - 1)}^{7}} (\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{2}} w^{2})$

خطوة 5.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- 24 \frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{7}} (\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{2}} w^{2})$

خطوة 5.3.2

اجمع $- 24$ و $\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{7}}$ .

$\frac{- 24}{{(w^{3} - 1)}^{7}} (\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{2}} w^{2})$

خطوة 5.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{24}{{(w^{3} - 1)}^{7}} (\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{2}} w^{2})$

خطوة 5.3.4

اجمع $\frac{1}{{(w^{3} - 1)}^{2}}$ و $w^{2}$ .

$- \frac{24}{{(w^{3} - 1)}^{7}} \cdot \frac{w^{2}}{{(w^{3} - 1)}^{2}}$

خطوة 5.3.5

اضرب $\frac{w^{2}}{{(w^{3} - 1)}^{2}}$ في $\frac{24}{{(w^{3} - 1)}^{7}}$ .

$- \frac{w^{2} \cdot 24}{{(w^{3} - 1)}^{2} {(w^{3} - 1)}^{7}}$

خطوة 5.3.6

اضرب ${(w^{3} - 1)}^{2}$ في ${(w^{3} - 1)}^{7}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.6.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{w^{2} \cdot 24}{{(w^{3} - 1)}^{2 + 7}}$

خطوة 5.3.6.2

أضف $2$ و $7$ .

$- \frac{w^{2} \cdot 24}{{(w^{3} - 1)}^{9}}$

خطوة 5.3.7

انقُل $24$ إلى يسار $w^{2}$ .

$- \frac{24 w^{2}}{{(w^{3} - 1)}^{9}}$

خطوة 5.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{3}$ .

$- \frac{24 w^{2}}{{(w^{3} - 1^{3})}^{9}}$

خطوة 5.4.2

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مكعبين، $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ حيث $a = w$ و $b = 1$ .

$- \frac{24 w^{2}}{{((w - 1) (w^{2} + w \cdot 1 + 1^{2}))}^{9}}$

خطوة 5.4.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

اضرب $w$ في $1$ .

$- \frac{24 w^{2}}{{((w - 1) (w^{2} + w + 1^{2}))}^{9}}$

خطوة 5.4.3.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- \frac{24 w^{2}}{{((w - 1) (w^{2} + w + 1))}^{9}}$

خطوة 5.4.4

طبّق قاعدة الضرب على $(w - 1) (w^{2} + w + 1)$ .

$- \frac{24 w^{2}}{{(w - 1)}^{9} {(w^{2} + w + 1)}^{9}}$