حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$g (t) = \sin^{2} (3 t) + \arcsin (3 t)$

خطوة 1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sin^{2} (3 t) + \arcsin (3 t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [\sin^{2} (3 t)] + \frac{d}{d t} [\arcsin (3 t)]$ .

$\frac{d}{d t} [\sin^{2} (3 t)] + \frac{d}{d t} [\arcsin (3 t)]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [\sin^{2} (3 t)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{2}$ و $g (t) = \sin (3 t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\sin (3 t)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\sin (3 t)] + \frac{d}{d t} [\arcsin (3 t)]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d t} [\sin (3 t)] + \frac{d}{d t} [\arcsin (3 t)]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\sin (3 t)$ .

$2 \sin (3 t) \frac{d}{d t} [\sin (3 t)] + \frac{d}{d t} [\arcsin (3 t)]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = \sin (t)$ و $g (t) = 3 t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $3 t$ .

$2 \sin (3 t) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [\arcsin (3 t)]$

خطوة 2.2.2

مشتق $\sin (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (3 t) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [\arcsin (3 t)]$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $3 t$ .

$2 \sin (3 t) (\cos (3 t) \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [\arcsin (3 t)]$

خطوة 2.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $3 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \sin (3 t) (\cos (3 t) (3 \frac{d}{d t} [t])) + \frac{d}{d t} [\arcsin (3 t)]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \sin (3 t) (\cos (3 t) (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [\arcsin (3 t)]$

خطوة 2.5

اضرب $3$ في $1$ .

$2 \sin (3 t) (\cos (3 t) \cdot 3) + \frac{d}{d t} [\arcsin (3 t)]$

خطوة 2.6

انقُل $3$ إلى يسار $\cos (3 t)$ .

$2 \sin (3 t) (3 \cdot \cos (3 t)) + \frac{d}{d t} [\arcsin (3 t)]$

خطوة 2.7

اضرب $3$ في $2$ .

$6 \sin (3 t) \cos (3 t) + \frac{d}{d t} [\arcsin (3 t)]$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [\arcsin (3 t)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = \arcsin (t)$ و $g (t) = 3 t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{3}$ لتصبح $3 t$ .

$6 \sin (3 t) \cos (3 t) + \frac{d}{d u_{3}} [\arcsin (u_{3})] \frac{d}{d t} [3 t]$

خطوة 3.1.2

مشتق $\arcsin (u_{3})$ بالنسبة إلى $u_{3}$ يساوي $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{3}}^{2}}}$ .

$6 \sin (3 t) \cos (3 t) + \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{3}}^{2}}} \frac{d}{d t} [3 t]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{3}$ بـ $3 t$ .

$6 \sin (3 t) \cos (3 t) + \frac{1}{\sqrt{1 - {(3 t)}^{2}}} \frac{d}{d t} [3 t]$

خطوة 3.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $3 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$6 \sin (3 t) \cos (3 t) + \frac{1}{\sqrt{1 - {(3 t)}^{2}}} (3 \frac{d}{d t} [t])$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 \sin (3 t) \cos (3 t) + \frac{1}{\sqrt{1 - {(3 t)}^{2}}} (3 \cdot 1)$

خطوة 3.4

أخرِج العامل $3$ من $3 t$ .

$6 \sin (3 t) \cos (3 t) + \frac{1}{\sqrt{1 - {(3 (t))}^{2}}} (3 \cdot 1)$

خطوة 3.5

طبّق قاعدة الضرب على $3 (t)$ .

$6 \sin (3 t) \cos (3 t) + \frac{1}{\sqrt{1 - (3^{2} t^{2})}} (3 \cdot 1)$

خطوة 3.6

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$6 \sin (3 t) \cos (3 t) + \frac{1}{\sqrt{1 - (9 t^{2})}} (3 \cdot 1)$

خطوة 3.7

اضرب $9$ في $- 1$ .

$6 \sin (3 t) \cos (3 t) + \frac{1}{\sqrt{1 - 9 t^{2}}} (3 \cdot 1)$

خطوة 3.8

اضرب $3$ في $1$ .

$6 \sin (3 t) \cos (3 t) + \frac{1}{\sqrt{1 - 9 t^{2}}} \cdot 3$

خطوة 3.9

اجمع $\frac{1}{\sqrt{1 - 9 t^{2}}}$ و $3$ .

$6 \sin (3 t) \cos (3 t) + \frac{3}{\sqrt{1 - 9 t^{2}}}$

خطوة 4

أعِد ترتيب الحدود.

$6 \cos (3 t) \sin (3 t) + \frac{3}{\sqrt{1 - 9 t^{2}}}$