حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\ln (1 + t^{2})$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = \ln (t)$ و $g (t) = 1 + t^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $1 + t^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]$

خطوة 1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + t^{2}$ .

$\frac{1}{1 + t^{2}} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + t^{2}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + t^{2}} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}])$

خطوة 2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$\frac{1}{1 + t^{2}} (0 + \frac{d}{d t} [t^{2}])$

خطوة 2.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + t^{2}} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + t^{2}} (2 t)$

خطوة 2.5

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{1 + t^{2}}$ .

$\frac{2}{1 + t^{2}} t$

خطوة 2.5.2

اجمع $\frac{2}{1 + t^{2}}$ و $t$ .

$\frac{2 t}{1 + t^{2}}$

خطوة 2.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{2 t}{t^{2} + 1}$