حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\cos (\sqrt{8 t + 11})$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{8 t + 11}$ في صورة ${(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [\cos ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = \cos (t)$ و $g (t) = {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح ${(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [{(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2.2

مشتق $\cos (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [{(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ ${(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [{(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ و $g (t) = 8 t + 11$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $8 t + 11$ .

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [8 t + 11])$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [8 t + 11])$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $8 t + 11$ .

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [8 t + 11])$

خطوة 4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [8 t + 11])$

خطوة 5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [8 t + 11])$

خطوة 6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(8 t + 11)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [8 t + 11])$

خطوة 7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(8 t + 11)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [8 t + 11])$

خطوة 7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(8 t + 11)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [8 t + 11])$

خطوة 8

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(8 t + 11)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [8 t + 11])$

خطوة 8.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(8 t + 11)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{{(8 t + 11)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [8 t + 11])$

خطوة 8.3

انقُل ${(8 t + 11)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [8 t + 11])$

خطوة 8.4

اجمع $\frac{1}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$ و $\sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})$ .

$- \frac{\sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [8 t + 11]$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $8 t + 11$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [8 t] + \frac{d}{d t} [11]$ .

$- \frac{\sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [8 t] + \frac{d}{d t} [11])$

خطوة 10

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $8 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $8 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{\sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}} (8 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [11])$

خطوة 11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{\sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [11])$

خطوة 12

اضرب $8$ في $1$ .

$- \frac{\sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}} (8 + \frac{d}{d t} [11])$

خطوة 13

بما أن $11$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $11$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$- \frac{\sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}} (8 + 0)$

خطوة 14

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

أضف $8$ و $0$ .

$- \frac{\sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 8$

خطوة 14.2

اضرب $8$ في $- 1$ .

$- 8 \frac{\sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 14.3

اجمع $- 8$ و $\frac{\sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 8 \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 14.4

أخرِج العامل $2$ من $- 8 \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (- 4 \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 15

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- 4 \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}))}{2 ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 15.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- 4 \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 15.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 4 \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{{(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 16

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{4 \sin ({(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}})}{{(8 t + 11)}^{\frac{1}{2}}}$