حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$a (1 - e^{- k t}) + b$

خطوة 1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $a (1 - e^{- k t}) + b$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [a (1 - e^{- k t})] + \frac{d}{d t} [b]$ .

$\frac{d}{d t} [a (1 - e^{- k t})] + \frac{d}{d t} [b]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [a (1 - e^{- k t})]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $a$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $a (1 - e^{- k t})$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $a \frac{d}{d t} [1 - e^{- k t}]$ .

$a \frac{d}{d t} [1 - e^{- k t}] + \frac{d}{d t} [b]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - e^{- k t}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- e^{- k t}]$ .

$a (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- e^{- k t}]) + \frac{d}{d t} [b]$

خطوة 2.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$a (0 + \frac{d}{d t} [- e^{- k t}]) + \frac{d}{d t} [b]$

خطوة 2.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- e^{- k t}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- \frac{d}{d t} [e^{- k t}]$ .

$a (0 - \frac{d}{d t} [e^{- k t}]) + \frac{d}{d t} [b]$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = e^{t}$ و $g (t) = - k t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- k t$ .

$a (0 - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- k t])) + \frac{d}{d t} [b]$

خطوة 2.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$a (0 - (e^{u} \frac{d}{d t} [- k t])) + \frac{d}{d t} [b]$

خطوة 2.5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- k t$ .

$a (0 - (e^{- k t} \frac{d}{d t} [- k t])) + \frac{d}{d t} [b]$

خطوة 2.6

بما أن $- k$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- k t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- k \frac{d}{d t} [t]$ .

$a (0 - (e^{- k t} (- k \frac{d}{d t} [t]))) + \frac{d}{d t} [b]$

خطوة 2.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$a (0 - (e^{- k t} (- k \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [b]$

خطوة 2.8

اضرب $- 1$ في $1$ .

$a (0 - (e^{- k t} (- k))) + \frac{d}{d t} [b]$

خطوة 2.9

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$a (0 + 1 (e^{- k t} (k))) + \frac{d}{d t} [b]$

خطوة 2.10

اضرب $e^{- k t}$ في $1$ .

$a (0 + e^{- k t} k) + \frac{d}{d t} [b]$

خطوة 2.11

أضف $0$ و $e^{- k t} k$ .

$a e^{- k t} k + \frac{d}{d t} [b]$

خطوة 3

بما أن $b$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $b$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$a e^{- k t} k + 0$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أضف $a e^{- k t} k$ و $0$ .

$a e^{- k t} k$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب عوامل $a e^{- k t} k$ .

$e^{- k t} a k$

خطوة 4.3

أعِد ترتيب العوامل في $e^{- k t} a k$ .

$a k e^{- k t}$