حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sqrt[3]{1 + \tan (t)}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{1 + \tan (t)}$ في صورة ${(1 + \tan (t))}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d t} [{(1 + \tan (t))}^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{\frac{1}{3}}$ و $g (t) = 1 + \tan (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $1 + \tan (t)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d t} [1 + \tan (t)]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d t} [1 + \tan (t)]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + \tan (t)$ .

$\frac{1}{3} {(1 + \tan (t))}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d t} [1 + \tan (t)]$

خطوة 3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(1 + \tan (t))}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d t} [1 + \tan (t)]$

خطوة 4

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(1 + \tan (t))}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [1 + \tan (t)]$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{3} {(1 + \tan (t))}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [1 + \tan (t)]$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{1}{3} {(1 + \tan (t))}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d t} [1 + \tan (t)]$

خطوة 6.2

اطرح $3$ من $1$ .

$\frac{1}{3} {(1 + \tan (t))}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d t} [1 + \tan (t)]$

خطوة 7

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{3} {(1 + \tan (t))}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d t} [1 + \tan (t)]$

خطوة 7.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و ${(1 + \tan (t))}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(1 + \tan (t))}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d t} [1 + \tan (t)]$

خطوة 7.2.2

انقُل ${(1 + \tan (t))}^{- \frac{2}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(1 + \tan (t))}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d t} [1 + \tan (t)]$

خطوة 7.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + \tan (t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\tan (t)]$ .

$\frac{1}{3 {(1 + \tan (t))}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\tan (t)])$

خطوة 7.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$\frac{1}{3 {(1 + \tan (t))}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d t} [\tan (t)])$

خطوة 7.5

أضف $0$ و $\frac{d}{d t} [\tan (t)]$ .

$\frac{1}{3 {(1 + \tan (t))}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d t} [\tan (t)]$

خطوة 8

مشتق $\tan (t)$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $\sec^{2} (t)$ .

$\frac{1}{3 {(1 + \tan (t))}^{\frac{2}{3}}} \sec^{2} (t)$

خطوة 9

اجمع $\frac{1}{3 {(1 + \tan (t))}^{\frac{2}{3}}}$ و $\sec^{2} (t)$ .

$\frac{\sec^{2} (t)}{3 {(1 + \tan (t))}^{\frac{2}{3}}}$