حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{4} - 27 x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{4} - 27 x^{2}$ و $g (x) = {(x^{2} - 9)}^{2}$ .

$\frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 27 x^{2}] - (x^{4} - 27 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{({(x^{2} - 9)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب الأُسس في ${({(x^{2} - 9)}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 27 x^{2}] - (x^{4} - 27 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{2 \cdot 2}}$

خطوة 2.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 27 x^{2}] - (x^{4} - 27 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} - 27 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}]$ .

$\frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}]) - (x^{4} - 27 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}]) - (x^{4} - 27 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

خطوة 2.4

بما أن $- 27$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 27 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 27 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (4 x^{3} - 27 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (x^{4} - 27 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (4 x^{3} - 27 (2 x)) - (x^{4} - 27 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

خطوة 2.6

اضرب $2$ في $- 27$ .

$\frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (4 x^{3} - 54 x) - (x^{4} - 27 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x^{2} - 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} - 9$ .

$\frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (4 x^{3} - 54 x) - (x^{4} - 27 x^{2}) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (4 x^{3} - 54 x) - (x^{4} - 27 x^{2}) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} - 9$ .

$\frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (4 x^{3} - 54 x) - (x^{4} - 27 x^{2}) (2 (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

خطوة 4

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (4 x^{3} - 54 x) - 2 (x^{4} - 27 x^{2}) ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

خطوة 4.2

أخرِج العامل $x^{2} - 9$ من ${(x^{2} - 9)}^{2} (4 x^{3} - 54 x) - 2 (x^{4} - 27 x^{2}) ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أخرِج العامل $x^{2} - 9$ من ${(x^{2} - 9)}^{2} (4 x^{3} - 54 x)$ .

$\frac{(x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x)) - 2 (x^{4} - 27 x^{2}) ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

خطوة 4.2.2

أخرِج العامل $x^{2} - 9$ من $- 2 (x^{4} - 27 x^{2}) ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$ .

$\frac{(x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x)) + (x^{2} - 9) (- 2 (x^{4} - 27 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

خطوة 4.2.3

أخرِج العامل $x^{2} - 9$ من $(x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x)) + (x^{2} - 9) (- 2 (x^{4} - 27 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))$ .

$\frac{(x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x) - 2 (x^{4} - 27 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

خطوة 5

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أخرِج العامل $x^{2} - 9$ من ${(x^{2} - 9)}^{4}$ .

$\frac{(x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x) - 2 (x^{4} - 27 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))}{(x^{2} - 9) {(x^{2} - 9)}^{3}}$

خطوة 5.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x) - 2 (x^{4} - 27 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))}{(x^{2} - 9) {(x^{2} - 9)}^{3}}$

خطوة 5.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{(x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x) - 2 (x^{4} - 27 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{(x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x) - 2 (x^{4} - 27 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

خطوة 7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x) - 2 (x^{4} - 27 x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

خطوة 8

بما أن $- 9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x) - 2 (x^{4} - 27 x^{2}) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

خطوة 9

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{(x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x) - 2 (x^{4} - 27 x^{2}) (2 x)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

خطوة 9.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$\frac{(x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x) - 4 (x^{4} - 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x) + (- 4 x^{4} - 4 (- 27 x^{2})) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

خطوة 10.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

خطوة 10.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1.1

وسّع $(x^{2} - 9) (4 x^{3} - 54 x)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} (4 x^{3} - 54 x) - 9 (4 x^{3} - 54 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

خطوة 10.3.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} (4 x^{3}) + x^{2} (- 54 x) - 9 (4 x^{3} - 54 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

خطوة 10.3.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} (4 x^{3}) + x^{2} (- 54 x) - 9 (4 x^{3}) - 9 (- 54 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

خطوة 10.3.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1.2.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{4 x^{2} x^{3} + x^{2} (- 54 x) - 9 (4 x^{3}) - 9 (- 54 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

خطوة 10.3.1.2.1.2

اضرب $x^{2}$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1.2.1.2.1

انقُل $x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3} x^{2}) + x^{2} (- 54 x) - 9 (4 x^{3}) - 9 (- 54 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

خطوة 10.3.1.2.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{4 x^{3 + 2} + x^{2} (- 54 x) - 9 (4 x^{3}) - 9 (- 54 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

خطوة 10.3.1.2.1.2.3

أضف $3$ و $2$ .

$\frac{4 x^{5} + x^{2} (- 54 x) - 9 (4 x^{3}) - 9 (- 54 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

خطوة 10.3.1.2.1.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{4 x^{5} - 54 x^{2} x - 9 (4 x^{3}) - 9 (- 54 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

خطوة 10.3.1.2.1.4

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1.2.1.4.1

انقُل $x$ .

$\frac{4 x^{5} - 54 (x \cdot x^{2}) - 9 (4 x^{3}) - 9 (- 54 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

خطوة 10.3.1.2.1.4.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1.2.1.4.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{4 x^{5} - 54 (x^{1} x^{2}) - 9 (4 x^{3}) - 9 (- 54 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

خطوة 10.3.1.2.1.4.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{4 x^{5} - 54 x^{1 + 2} - 9 (4 x^{3}) - 9 (- 54 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

خطوة 10.3.1.2.1.4.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{4 x^{5} - 54 x^{3} - 9 (4 x^{3}) - 9 (- 54 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

خطوة 10.3.1.2.1.5

اضرب $4$ في $- 9$ .

$\frac{4 x^{5} - 54 x^{3} - 36 x^{3} - 9 (- 54 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

خطوة 10.3.1.2.1.6

اضرب $- 54$ في $- 9$ .

$\frac{4 x^{5} - 54 x^{3} - 36 x^{3} + 486 x - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

خطوة 10.3.1.2.2

اطرح $36 x^{3}$ من $- 54 x^{3}$ .

$\frac{4 x^{5} - 90 x^{3} + 486 x - 4 x^{4} x - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

خطوة 10.3.1.3

اضرب $x^{4}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1.3.1

انقُل $x$ .

$\frac{4 x^{5} - 90 x^{3} + 486 x - 4 (x \cdot x^{4}) - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

خطوة 10.3.1.3.2

اضرب $x$ في $x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1.3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{4 x^{5} - 90 x^{3} + 486 x - 4 (x^{1} x^{4}) - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

خطوة 10.3.1.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{4 x^{5} - 90 x^{3} + 486 x - 4 x^{1 + 4} - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

خطوة 10.3.1.3.3

أضف $1$ و $4$ .

$\frac{4 x^{5} - 90 x^{3} + 486 x - 4 x^{5} - 4 (- 27 x^{2}) x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

خطوة 10.3.1.4

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1.4.1

انقُل $x$ .

$\frac{4 x^{5} - 90 x^{3} + 486 x - 4 x^{5} - 4 (- 27 (x \cdot x^{2}))}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

خطوة 10.3.1.4.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1.4.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{4 x^{5} - 90 x^{3} + 486 x - 4 x^{5} - 4 (- 27 (x^{1} x^{2}))}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

خطوة 10.3.1.4.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{4 x^{5} - 90 x^{3} + 486 x - 4 x^{5} - 4 (- 27 x^{1 + 2})}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

خطوة 10.3.1.4.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{4 x^{5} - 90 x^{3} + 486 x - 4 x^{5} - 4 (- 27 x^{3})}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

خطوة 10.3.1.5

اضرب $- 27$ في $- 4$ .

$\frac{4 x^{5} - 90 x^{3} + 486 x - 4 x^{5} + 108 x^{3}}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

خطوة 10.3.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $4 x^{5} - 90 x^{3} + 486 x - 4 x^{5} + 108 x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.2.1

اطرح $4 x^{5}$ من $4 x^{5}$ .

$\frac{- 90 x^{3} + 486 x + 0 + 108 x^{3}}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

خطوة 10.3.2.2

أضف $- 90 x^{3} + 486 x$ و $0$ .

$\frac{- 90 x^{3} + 486 x + 108 x^{3}}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

خطوة 10.3.3

أضف $- 90 x^{3}$ و $108 x^{3}$ .

$\frac{18 x^{3} + 486 x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

خطوة 10.4

أخرِج العامل $18 x$ من $18 x^{3} + 486 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1

أخرِج العامل $18 x$ من $18 x^{3}$ .

$\frac{18 x (x^{2}) + 486 x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

خطوة 10.4.2

أخرِج العامل $18 x$ من $486 x$ .

$\frac{18 x (x^{2}) + 18 x (27)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

خطوة 10.4.3

أخرِج العامل $18 x$ من $18 x (x^{2}) + 18 x (27)$ .

$\frac{18 x (x^{2} + 27)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

خطوة 10.5

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$\frac{18 x (x^{2} + 27)}{{(x^{2} - 3^{2})}^{3}}$

خطوة 10.5.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 3$ .

$\frac{18 x (x^{2} + 27)}{{((x + 3) (x - 3))}^{3}}$

خطوة 10.5.3

طبّق قاعدة الضرب على $(x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{18 x (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$